Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 4
c = 7

Obsah trojuholníka: S = 13,99877676792
Obvod trojuholníka: o = 19
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,5

Uhol ∠ A = α = 88,97768066963° = 88°58'37″ = 1,55329382348 rad
Uhol ∠ B = β = 29,99547255274° = 29°59'41″ = 0,52435067187 rad
Uhol ∠ C = γ = 61,02884677763° = 61°1'42″ = 1,06551477001 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 3,49994419198
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,99988838396
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,9999362194

Ťažnica: t_a = 4,06220192023
Ťažnica: t_b = 7,24656883731
Ťažnica: t_c = 5,26878268764

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,47334492294
Polomer opísanej kružnice: R = 4,00106379077

Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[6,92985714286; 3,9999362194]
Ťažisko: T[4,64328571429; 1,33331207313]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; 1,93878089865]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 1,47334492294]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 91,02331933037° = 91°1'23″ = 1,55329382348 rad
∠ B' = β' = 150,00552744726° = 150°19″ = 0,52435067187 rad
∠ C' = γ' = 118,97215322237° = 118°58'18″ = 1,06551477001 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 4 c = 7

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 4 + 7 = 19

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9}{2} = 9, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 5 (9, 5 - 8) (9, 5 - 4) (9, 5 - 7) S = 195, 94 = 14

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4}{8} = 3, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4}{4} = 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4}{7} = 4

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 7}) = 88 ° 5 8^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 7}) = 29 ° 5 9^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 88 ° 5 8^{'} 37 " - 29 ° 5 9^{'} 41 " = 61 ° 1^{'} 42 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4}{9 , 5} = 1, 47

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 4 \cdot 7}{4 \cdot 1 , 4 7 3 \cdot 9 , 5} = 4

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 4, 062 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 7, 246 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 5, 268

Vypočítať ďaľší trojuholník