Číselná os

V kocúrskovskej škole používajú zvláštne číselnú os. Vzdialenosť medzi číslami 1 a 2 je 1 cm, vzdialenosť medzi číslami 2 a 3 je 3 cm, medzi číslami 3 a 4 je 5 cm, a tak ďalej, vzdialenosť medzi nasledujúce dvojicou prirodzenými číslami sa vždy zväčší o 2 cm.

Medzi ktorými dvoma prirodzenými číslami je na kocúrskovskej číselnej osi vzdialenosť 39 cm?

Nájdi všetky možnosti.

Správna odpoveď:

n =  2

Postup správneho riešenia:

6,9;20,21 n=2



Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.






Zobrazujem 1 komentár:
#
Mo-radca
Nápoveda. Vypíšte si vzdialenosti medzi rôznymi trojicami čísel na kocúrkovskej  osi.

Možné riešenie.
Vzdialenosť 39 cm môže byť realizovaná medzi rôznymi dvojicami čísel. Budeme systematicky vypisovať vzdialenosti medzi niekoľkými prvými číslami kocúrkovskej osi. V nasledujúcej schéme je nad čiarou vypísané prvých 10 čísiel a pod čiarou skutočnej vzdialenosti (v cm) medzi rôznymi dvojicami týchto čísel - na prvom riadku pod čiarou sú postupne vzdialenosti medzi susednými číslami, na druhom riadku pod čiarou sú vzdialenosti medzi dvojicami čísel, ktoré sú ob jedno, atď. (Napr. 21 na treťom riadku pod čiarou značí skutočnú vzdialenosť medzi číslami 3 a 6 na kocúrkovskej  osi a je určené ako 5 + 7 + 9). Hviezdičkou sú označené zbytočne veľké čísla, ktorá nás nezaujímajú.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 * *
16 24 32 40 * * * *
25 35 45 * * * *
36 48 * * * * *
49 * * * * *

Ihneď vidíme (z tretieho riadku pod čiarou), že vzdialenosť 39 cm je medzi číslami 6 a 9 a že sa určite neobjavuje medzi číslami, ktoré sú na kocúrkovskej  osi viac ako ob dve (od štvrtého riadku pod čiarou). Vzdialenosť 39 cm sa určite tiež nemôže objavovať medzi číslami, ktoré sú ob jedno, pretože všetky tieto vzdialenosti sú párne (druhý riadok pod čiarou). Zostáva teda preskúmať vzdialenosti medzi susednými číslami (prvý riadok pod čiarou):
Postupnosť vzdialenosťou medzi susednými číslami môžeme vyjadriť ako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 1) -ným číslom na kocúrkovskej  osi je rovná
1 + 2 (i - 1) = 2i - 1 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 20. Vzdialenosť 39 cm na kocúrkovskej  číselnej osi je medzi dvojicami čísel 6, 9 a 20, 21.

Poznámky.

a) Záverečnou úvahy možno nahradiť vypísaním a spočítaním všetkých nepárnych čísel až po 39. Ak je výpočet úplný, je takéto riešenie správne.
b) Naopak úvodnej vypisovanie možno celé nahradiť úvahou, príp. výpočtom: Všetky vzdialenosti v tabuľke sú súčtom rôznych počtov nepárnych čísel, pričom tieto počty sú buď nepárne (pre susedné čísla a dvojica čísel, ktoré sú ob párny počet čísel), alebo párne (pre dvojice čísel, ktoré sú ob nepárny počet čísiel). Na jednotlivých riadkoch sa teda objavujú buď len nepárne, alebo iba párne čísla. Vzdialenosť 39 cm sa teda môže objavovať iba medzi susednými číslami a dvojicami, ktoré sú na kocúrkovskej  osi ob párny počet čísel.

Predchádzajúce vypisovanie postupnosti vzdialeností medzi susednými číslami má nasledujúce analógiu pre dvojice čísel, ktoré sú ob dve:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 3) -tým číslom na kocúrkovskej  osi je rovná 9 + 6 (i - 1) = 6i + 3 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 6. Obdobne možno vyjadriť akúkoľvek inú vyššie vypisovanie postupnosť.
c) Riešenie úlohy možno zjednodušiť pomocou nasledujúceho poznatku: Súčet nepárneho počtu po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný súčinu počtu týchto čísel a prostredného z nich. Zvedavým riešiteľom odporúčame tento poznatok zdôvodniť a riešenie domyslieť.
d) V uvedenej schéme si môžeme všimnúť, že všetky čísla v prvom šikmom stĺpci sú druhými mocninami prirodzených čísel. To nie je náhoda - všeobecne platí, že súčet prvých k po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný k2. Zvedavým riešiteľom odporúčame porovnať toto tvrdenie s poznatkom v predchádzajúcej poznámke.

avatar









Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:

Súvisiace a podobné príklady:

  • Z7–I–6, výstava mačiek
    stoly Na výstave dlhosrstých mačiek sa zišlo celkom desať vystavujúcich. Vystavovalo sa v obdĺžnikovej miestnosti, v ktorej boli dva rady stolov ako na obrázku. Mačky boli označené navzájom rôznymi číslami v rozmedzí 1 až 10 a na každom stole sedela jedna mačka
  • Obdĺžnik - kto má pravdu
    mo Obdĺžnik je rozdelený na 7 políčok. Na každé políčko sa má napísať práve jedno z čísel 1, 2 a 3. Mirek tvrdia, že to možno vykonať tak, aby súčet dvoch vedľa seba napísaných čísel bol zakaždým iný. Zuzka naopak tvrdia, že to možné nie je. Rozhodnite, kto
  • Rýchlosti slovenských vlakov
    zssk_train Rudolf sa rozhodol cestovať vlakom zo stanice 'Veľké Bielice' do stanice 'Krušovce'. V cestovných poriadkoch našiel vlak Os 5004: km 0 Prievidza 14:25 4 Koš 14:30 14:31 9 Nováky 14:36 14:37 13 Zemianske Kostoľany 14:42 14:43 16 Bystričany 14:47 14:48 19 O
  • Pivnica
    Spider-and-Fly V prvej pivnici je viac múch než pavúkov, v druhej naopak. V každej pivnici mali muchy a pavúky dohromady 100 nôh. Určte koľko mohlo byť múch a pavúkov v prvej a koľko v druhej pivnici. PS. Nám stačí, keď napíšete koľko riešení má táto úloha.
  • Roboti Z7
    1-robot V škole pre robotov do jednej triedy chodí dvadsať robotov Robertov, ktorí sú očíslovaní Robert 1 až Robert 20. V triede je práve napätá atmosféra, rozprávajú sa spolu iba niektorí roboti. Roboti s nepárnym číslom sa nerozprávajú s robotmi s párnym číslom
  • Úžasné číslo
    numbers4 Úžasnými číslom nazveme také párne číslo, ktorého rozklad na súčin prvočísel má práve tri nie nutne rôzne činitele a súčet všetkých jeho deliteľov je rovný dvojnásobku tohto čísla. Nájdite všetky užasné čísla.
  • Pán Cuketa
    cuketa Pán Cuketa mal obdĺžnikovú záhradu, ktorej obvod bol 28 metrov. Obsah celej záhrady vyplnili práve štyri štvorcové záhony, ktorých rozmery v metroch boli vyjadrené celými číslami. Určite aké rozmery mohla mať záhrada. Nájdite všetky možnosti a zapíšte n a
  • Betka
    numbers Betka si myslela prirodzené číslo s navzájom rôznymi ciframi a napísala ho na tabuľu. Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skla
  • MO 2019 Z5–I–3 Dukáty
    dukat Pán kráľ rozdával svojim synom dukáty. Najstaršiemu synovi dal určitý počet dukátov, mladšiemu dal o jeden dukát menej, ďalšiemu dal opäť o jeden dukát menej a takto postupoval až k najmladšiemu. Potom sa vrátil k najstaršiemu synovi, dal mu o jeden dukát
  • Prestávky
    skola Vypočítaj koľko percent času v škole patrí prestávkam. Počítaj údaje za celý týždeň.
  • Komora
    socks V komore, kde sa rozbilo svetlo a všetko z nej musíme brať naslepo, máme ponožky štyroch rôznych farieb. Ak si chceme byť istí, že vytiahneme aspoň dve biele ponožky, musíme ich z komory priniesť 28. Aby sme mali takú istotu pre sivé ponožky, musíme ich p
  • Pastevci
    ovce-miestami-baran Na lúke sa pasú kone, kravy a ovce, spolu ich je menej ako 200. Keby bolo kráv 45-krát viac, koní 60-krát viac a oviec 35-krát viac ako ich je teraz, ich počty by sa rovnali. Koľko sa spolu na lúke pasie koní, kráv a oviec?
  • Z5–I–6 MO 2017
    prime Na stole ležalo osem kartičiek s číslami 2,3,5,7,11,13,17,19. Fero si vybral tri kartičky. Sčítal na nich napísané čísla a zistil, že ich súčet je o 1 väčší ako súčet čísel na zvyšných kartičkách. Ktoré kartičky mohli zostať na stole? Určte všetky možnost
  • Z9–I–4 MO 2017
    vlak2 Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 sa chystali na cestu vlakom s tromi vagónmi. Chceli sa rozsadiť tak, aby v každom vagóne sedeli tri čísla a najväčšie z každej trojice bolo rovné súčtu zvyšných dvoch. Sprievodca tvrdil, že to nie je problém, a snažil sa č
  • Cukríky MO Z6-I-5 2017
    cukriky V plechovke boli červené a zelené cukríky. Cyril zjedol 2/5 všetkých červených cukríkov a Zuzka zjedla 3/5 všetkých zelených cukríkov. Teraz tvoria červené cukríky 3/8 všetkých cukríkov v plechovke. Koľko najmenej cukríkov mohlo byť pôvodne v plechovke?
  • Štvorcová sieť
    sit Štvorcová sieť sa skladá zo štvorca so stranou dĺžky 1cm. Narysujte do nej aspoň tri rôzne obrazce také, aby každý mal obsah 6 cm2 a obvod 12cm a aby ich strany splývali s priamkami siete.
  • MO Z8-I-1 2018
    age Fero a Dávid sa denne stretávajú vo výťahu. Raz ráno zistili, že keď vynásobia svoje súčasné veky, dostanú 238. Keby to isté urobili za štyri roky, bol by tento súčin 378. Určte súčet súčasných vekov Fera a Dávida.