Trojuholník 14 15 16

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 14
b = 15
c = 16

Obsah trojuholníka: S = 96,55879489219
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Uhol ∠ A = α = 53,57664263577° = 53°34'35″ = 0,93550850414 rad
Uhol ∠ B = β = 59,55659700416° = 59°33'21″ = 1,03994477664 rad
Uhol ∠ C = γ = 66,86876036007° = 66°52'3″ = 1,16770598458 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 13,79439927031
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 12,87443931896
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 12,07697436152

Ťažnica: t_a = 13,83883525031
Ťažnica: t_b = 13,02988142208
Ťažnica: t_c = 12,10437184369

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,29114643965
Polomer opísanej kružnice: R = 8,69994391387

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[7,094375; 12,07697436152]
Ťažisko: T[7,69879166667; 4,02332478717]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; 3,41876368045]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 4,29114643965]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,42435736423° = 126°25'25″ = 0,93550850414 rad
∠ B' = β' = 120,44440299584° = 120°26'39″ = 1,03994477664 rad
∠ C' = γ' = 113,13223963993° = 113°7'57″ = 1,16770598458 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14 b = 15 c = 16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14 + 15 + 16 = 45

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 14) (22, 5 - 15) (22, 5 - 16) S = 9323, 44 = 96, 56

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 6 , 5 6}{1 4} = 13, 79 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 6 , 5 6}{1 5} = 12, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 6 , 5 6}{1 6} = 12, 07

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 6}) = 53 ° 3 4^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 6}) = 59 ° 3 3^{'} 21 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 53 ° 3 4^{'} 35 " - 59 ° 3 3^{'} 21 " = 66 ° 5 2^{'} 3 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 6 , 5 6}{2 2 , 5} = 4, 29

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 1 5 \cdot 1 6}{4 \cdot 4 , 2 9 1 \cdot 2 2 , 5} = 8, 7

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 13, 838 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 13, 029 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 12, 104

Vypočítať ďaľší trojuholník