Trojuholník 18 29 30

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 18 b = 29 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 252,45218518451
Obvod trojuholníka: o = 77
Semiperimeter (poloobvod): s = 38,5

Uhol ∠ A = α = 35,47550991434° = 35°28'30″ = 0,61991572825 rad
Uhol ∠ B = β = 69,22992530508° = 69°13'45″ = 1,20882784044 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,29656478059° = 75°17'44″ = 1,31441569666 rad

Výška trojuholníka: v_a = 28,05502057606
Výška trojuholníka: v_b = 17,4110472541
Výška trojuholníka: v_c = 16,83301234563

Ťažnica: t_a = 28,09880426365
Ťažnica: t_b = 20,04437022528
Ťažnica: t_c = 18,90876704012

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,5577190957
Polomer opísanej kružnice: R = 15,50879076322

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[6,38333333333; 16,83301234563]
Ťažisko: T[12,12877777778; 5,61100411521]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 3,93663941787]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 6,5577190957]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,52549008566° = 144°31'30″ = 0,61991572825 rad
∠ B' = β' = 110,77107469492° = 110°46'15″ = 1,20882784044 rad
∠ C' = γ' = 104,70443521941° = 104°42'16″ = 1,31441569666 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 18 b = 29 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 18 + 29 + 30 = 77

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 7}{2} = 38, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 38, 5 (38, 5 - 18) (38, 5 - 29) (38, 5 - 30) S = 63731, 94 = 252, 45

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 5 2 , 4 5}{1 8} = 28, 05 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 5 2 , 4 5}{2 9} = 17, 41 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 5 2 , 4 5}{3 0} = 16, 83

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 9 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 9 \cdot 3 0}) = 35 ° 2 8^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 3 0}) = 69 ° 1 3^{'} 45 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 2 8^{'} 30 " - 69 ° 1 3^{'} 45 " = 75 ° 1 7^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 5 2 , 4 5}{3 8 , 5} = 6, 56

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 9 \cdot 3 0}{4 \cdot 6 , 5 5 7 \cdot 3 8 , 5} = 15, 51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 28, 098 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 20, 044 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 18, 908

Vypočítať ďaľší trojuholník