Trojuholník 3 11 13




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 11
c = 13

Obsah trojuholníka: S = 13,3111179512
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Uhol ∠ A = α = 10,72993735799° = 10°43'46″ = 0,18772628956 rad
Uhol ∠ B = β = 43,04990798002° = 43°2'57″ = 0,75113481825 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 2,20329815755 rad

Výška trojuholníka na stranu a: va = 8,87441196746
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,42202144567
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,04878737711

Ťažnica: ta = 11,94878031453
Ťažnica: tb = 7,66548548584
Ťažnica: tc = 4,77696960071

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,98660132972
Polomer opísanej kružnice: R = 8,05771372284

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[2,19223076923; 2,04878737711]
Ťažisko: T[5,06441025641; 0,68326245904]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -4,7611035635]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,98660132972]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,27106264201° = 169°16'14″ = 0,18772628956 rad
∠ B' = β' = 136,95109201998° = 136°57'3″ = 0,75113481825 rad
∠ C' = γ' = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 2,20329815755 rad


Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=11 c=13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=3+11+13=27

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=272=13,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 27 }{ 2 } = 13{,}5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−3)(13,5−11)(13,5−13) S=13,5⋅ 10,5⋅ 2,5⋅ 0,5 S=177,19=13,311S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 13{,}5(13{,}5-3)(13{,}5-11)(13{,}5-13) } \ \\ S = \sqrt{ 13{,}5 \cdot \ 10{,}5 \cdot \ 2{,}5 \cdot \ 0{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 177{,}19 } = 13{,}311

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 13,3113=8,874 vb=2 Sb=2⋅ 13,31111=2,42 vc=2 Sc=2⋅ 13,31113=2,048S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 13{,}311 }{ 3 } = 8{,}874 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 13{,}311 }{ 11 } = 2{,}42 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 13{,}311 }{ 13 } = 2{,}048

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 11⋅ 13112+132−32​)=10°43′46"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 3⋅ 1332+132−112​)=43°2′57" γ=180°−α−β=180°−10°43′46"−43°2′57"=126°13′18"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=13,31113,5=0,986S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 13{,}311 }{ 13{,}5 } = 0{,}986

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=3⋅ 11⋅ 134⋅ 0,986⋅ 13,5=8,057R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 3 \cdot \ 11 \cdot \ 13 }{ 4 \cdot \ 0{,}986 \cdot \ 13{,}5 } = 8{,}057

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 112+2⋅ 132−322=11,948 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 132+2⋅ 32−1122=7,665 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 32+2⋅ 112−1322=4,77t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 11^2+2 \cdot \ 13^2 - 3^2 } }{ 2 } = 11{,}948 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 13^2+2 \cdot \ 3^2 - 11^2 } }{ 2 } = 7{,}665 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 3^2+2 \cdot \ 11^2 - 13^2 } }{ 2 } = 4{,}77

Vypočítať ďaľší trojuholník