Trojuholník 3 11 13

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 11
c = 13

Obsah trojuholníka: S = 13,3111179512
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Uhol ∠ A = α = 10,72993735799° = 10°43'46″ = 0,18772628956 rad
Uhol ∠ B = β = 43,04990798002° = 43°2'57″ = 0,75113481825 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 2,20329815755 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,87441196746
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2,42202144567
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,04878737711

Ťažnica: t_a = 11,94878031453
Ťažnica: t_b = 7,66548548584
Ťažnica: t_c = 4,77696960071

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,98660132972
Polomer opísanej kružnice: R = 8,05771372284

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[2,19223076923; 2,04878737711]
Ťažisko: T[5,06441025641; 0,68326245904]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -4,7611035635]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,98660132972]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,27106264201° = 169°16'14″ = 0,18772628956 rad
∠ B' = β' = 136,95109201998° = 136°57'3″ = 0,75113481825 rad
∠ C' = γ' = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 2,20329815755 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 11 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 11 + 13 = 27

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7}{2} = 13, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 5 (13, 5 - 3) (13, 5 - 11) (13, 5 - 13) S = 177, 19 = 13, 31

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 3 1}{3} = 8, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 3 1}{1 1} = 2, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 3 1}{1 3} = 2, 05

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 3}) = 10 ° 4 3^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 3}) = 43 ° 2^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 4 3^{'} 46 " - 43 ° 2^{'} 57 " = 126 ° 1 3^{'} 18 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 3 1}{1 3 , 5} = 0, 99

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 1 \cdot 1 3}{4 \cdot 0 , 9 8 6 \cdot 1 3 , 5} = 8, 06

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 11, 948 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 7, 665 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 4, 77

Vypočítať ďaľší trojuholník