Trojuholník 3 12 14




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3   b = 12   c = 14

Obsah trojuholníka: S = 14,4377364718
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Uhol ∠ A = α = 9,89767597741° = 9°53'48″ = 0,17327310433 rad
Uhol ∠ B = β = 43,43220282875° = 43°25'55″ = 0,75880318944 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,67112119384° = 126°40'16″ = 2,21108297158 rad

Výška trojuholníka: va = 9,6254909812
Výška trojuholníka: vb = 2,4066227453
Výška trojuholníka: vc = 2,0622480674

Ťažnica: ta = 12,9521833847
Ťažnica: tb = 8,15547532152
Ťažnica: tc = 5,24440442409

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,99656803254
Polomer opísanej kružnice: R = 8,72773545042

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[2,17985714286; 2,0622480674]
Ťažisko: T[5,39328571429; 0,6877493558]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -5,21221700511]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,99656803254]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 170,10332402259° = 170°6'12″ = 0,17327310433 rad
∠ B' = β' = 136,56879717125° = 136°34'5″ = 0,75880318944 rad
∠ C' = γ' = 53,32987880616° = 53°19'44″ = 2,21108297158 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=12 c=14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=3+12+14=29

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=229=14,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=14,5(14,53)(14,512)(14,514) S=208,44=14,44

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=32 14,44=9,62 vb=b2 S=122 14,44=2,41 vc=c2 S=142 14,44=2,06

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 12 14122+14232)=9°5348"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 3 1432+142122)=43°2555" γ=180°αβ=180°9°5348"43°2555"=126°4016"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=14,514,44=1

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 0,996 14,53 12 14=8,73

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 122+2 14232=12,952 tb=22c2+2a2b2=22 142+2 32122=8,155 tc=22a2+2b2c2=22 32+2 122142=5,244

Vypočítať ďaľší trojuholník