Trojuholník 3 12 14
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 3 b = 12 c = 14Obsah trojuholníka: S = 14,4377364718
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 9,89767597741° = 9°53'48″ = 0,17327310433 rad
Uhol ∠ B = β = 43,43220282875° = 43°25'55″ = 0,75880318944 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,67112119384° = 126°40'16″ = 2,21108297158 rad
Výška trojuholníka: va = 9,6254909812
Výška trojuholníka: vb = 2,4066227453
Výška trojuholníka: vc = 2,0622480674
Ťažnica: ta = 12,9521833847
Ťažnica: tb = 8,15547532152
Ťažnica: tc = 5,24440442409
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,99656803254
Polomer opísanej kružnice: R = 8,72773545042
Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[2,17985714286; 2,0622480674]
Ťažisko: T[5,39328571429; 0,6877493558]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -5,21221700511]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,99656803254]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 170,10332402259° = 170°6'12″ = 0,17327310433 rad
∠ B' = β' = 136,56879717125° = 136°34'5″ = 0,75880318944 rad
∠ C' = γ' = 53,32987880616° = 53°19'44″ = 2,21108297158 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=12 c=14
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+12+14=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−3)(14,5−12)(14,5−14) S=208,44=14,44
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 14,44=9,62 vb=b2 S=122⋅ 14,44=2,41 vc=c2 S=142⋅ 14,44=2,06
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 14122+142−32)=9°53′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 1432+142−122)=43°25′55" γ=180°−α−β=180°−9°53′48"−43°25′55"=126°40′16"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,514,44=1
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,996⋅ 14,53⋅ 12⋅ 14=8,73
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 142−32=12,952 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 32−122=8,155 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 122−142=5,244
Vypočítať ďaľší trojuholník