Trojuholník 5 10 10




Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 10
c = 10

Obsah trojuholníka: S = 24,20661459138
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Uhol ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Uhol ∠ B = β = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad

Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,68224583655
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,84112291828
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,84112291828

Ťažnica: ta = 9,68224583655
Ťažnica: tb = 6,1243724357
Ťažnica: tc = 6,1243724357

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,93664916731
Polomer opísanej kružnice: R = 5,16439777949

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[1,25; 4,84112291828]
Ťažisko: T[3,75; 1,61437430609]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 1,29109944487]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,93664916731]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad
∠ C' = γ' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad


Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=10 c=10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=5+10+10=25

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=252=12,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 25 }{ 2 } = 12{,}5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−5)(12,5−10)(12,5−10) S=12,5⋅ 7,5⋅ 2,5⋅ 2,5 S=585,94=24,206S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 12{,}5(12{,}5-5)(12{,}5-10)(12{,}5-10) } \ \\ S = \sqrt{ 12{,}5 \cdot \ 7{,}5 \cdot \ 2{,}5 \cdot \ 2{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 585{,}94 } = 24{,}206

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 24,2065=9,683 vb=2 Sb=2⋅ 24,20610=4,841 vc=2 Sc=2⋅ 24,20610=4,841S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 24{,}206 }{ 5 } = 9{,}683 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 24{,}206 }{ 10 } = 4{,}841 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 24{,}206 }{ 10 } = 4{,}841

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 10⋅ 10102+102−52​)=28°57′18"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 5⋅ 1052+102−102​)=75°31′21" γ=180°−α−β=180°−28°57′18"−75°31′21"=75°31′21"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=24,20612,5=1,937S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 24{,}206 }{ 12{,}5 } = 1{,}937

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=5⋅ 10⋅ 104⋅ 1,936⋅ 12,5=5,164R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 5 \cdot \ 10 \cdot \ 10 }{ 4 \cdot \ 1{,}936 \cdot \ 12{,}5 } = 5{,}164

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 102+2⋅ 102−522=9,682 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 102+2⋅ 52−1022=6,124 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 52+2⋅ 102−1022=6,124t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 10^2 - 5^2 } }{ 2 } = 9{,}682 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 5^2 - 10^2 } }{ 2 } = 6{,}124 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 10^2 - 10^2 } }{ 2 } = 6{,}124

Vypočítať ďaľší trojuholník