Trojuholník 6 10 13

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 6
b = 10
c = 13

Obsah trojuholníka: S = 28,84333267845
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Uhol ∠ A = α = 26,34329755443° = 26°20'35″ = 0,4659771658 rad
Uhol ∠ B = β = 47,69550102928° = 47°41'42″ = 0,83224349664 rad
Uhol ∠ C = γ = 105,96220141629° = 105°57'43″ = 1,84993860292 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 9,61444422615
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 5,76986653569
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4,43774348899

Ťažnica: t_a = 11,20326782512
Ťažnica: t_b = 8,80334084308
Ťažnica: t_c = 5,07444457825

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,98991949507
Polomer opísanej kružnice: R = 6,76106625774

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[4,03884615385; 4,43774348899]
Ťažisko: T[5,67994871795; 1,47991449633]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -1,85991822088]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,98991949507]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,65770244557° = 153°39'25″ = 0,4659771658 rad
∠ B' = β' = 132,30549897072° = 132°18'18″ = 0,83224349664 rad
∠ C' = γ' = 74,03879858372° = 74°2'17″ = 1,84993860292 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 10 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a+b+c = 6+10+13 = 29

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 29 }{ 2 } = 14{,}5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 14{,}5(14{,}5-6)(14{,}5-10)(14{,}5-13) } \ \\ S = \sqrt{ 14{,}5 \cdot \ 8{,}5 \cdot \ 4{,}5 \cdot \ 1{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 831{,}94 } = 28{,}843

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 28{,}843 }{ 6 } = 9{,}614 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 28{,}843 }{ 10 } = 5{,}769 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 28{,}843 }{ 13 } = 4{,}437

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 3 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 3}) = 26 ° 2 0^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 3}) = 47 ° 4 1^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 2 0^{'} 35 " - 47 ° 4 1^{'} 42 " = 105 ° 5 7^{'} 43 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 28{,}843 }{ 14{,}5 } = 1{,}989

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 6 \cdot \ 10 \cdot \ 13 }{ 4 \cdot \ 1{,}989 \cdot \ 14{,}5 } = 6{,}761

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 13^2 - 6^2 } }{ 2 } = 11{,}203 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 13^2+2 \cdot \ 6^2 - 10^2 } }{ 2 } = 8{,}803 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 6^2+2 \cdot \ 10^2 - 13^2 } }{ 2 } = 5{,}074

Vypočítať ďaľší trojuholník