Trojuholník 6 9 11




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 6
b = 9
c = 11

Obsah trojuholníka: S = 26,98114751265
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Uhol ∠ A = α = 33,03301516046° = 33°1'49″ = 0,57664848979 rad
Uhol ∠ B = β = 54,84772970332° = 54°50'50″ = 0,9577265919 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,12325513621° = 92°7'21″ = 1,60878418366 rad

Výška trojuholníka na stranu a: va = 8,99438250422
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,99658833614
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,90657227503

Ťažnica: ta = 9,59216630466
Ťažnica: tb = 7,63221687612
Ťažnica: tc = 5,31550729064

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,07554980867
Polomer opísanej kružnice: R = 5,50437761762

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[3,45545454545; 4,90657227503]
Ťažisko: T[4,81881818182; 1,63552409168]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -0,20438435621]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,07554980867]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,97698483954° = 146°58'11″ = 0,57664848979 rad
∠ B' = β' = 125,15327029668° = 125°9'10″ = 0,9577265919 rad
∠ C' = γ' = 87,87774486379° = 87°52'39″ = 1,60878418366 rad


Vypočítať ďaľší trojuholník




Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=9 c=11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=6+9+11=26

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=226=13

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=13(136)(139)(1311) S=728=26,98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=62 26,98=8,99 vb=b2 S=92 26,98=6 vc=c2 S=112 26,98=4,91

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 1192+11262)=33°149"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 6 1162+11292)=54°5050" γ=180°αβ=180°33°149"54°5050"=92°721"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1326,98=2,08

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,075 136 9 11=5,5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 11262=9,592 tb=22c2+2a2b2=22 112+2 6292=7,632 tc=22a2+2b2c2=22 62+2 92112=5,315

Vypočítať ďaľší trojuholník