Trojuholník 6 9 11
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 9
c = 11
Obsah trojuholníka: S = 26,98114751265
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13
Uhol ∠ A = α = 33,03301516046° = 33°1'49″ = 0,57664848979 rad
Uhol ∠ B = β = 54,84772970332° = 54°50'50″ = 0,9577265919 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,12325513621° = 92°7'21″ = 1,60878418366 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 8,99438250422
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,99658833614
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,90657227503
Ťažnica: ta = 9,59216630466
Ťažnica: tb = 7,63221687612
Ťažnica: tc = 5,31550729064
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,07554980867
Polomer opísanej kružnice: R = 5,50437761762
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[3,45545454545; 4,90657227503]
Ťažisko: T[4,81881818182; 1,63552409168]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -0,20438435621]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,07554980867]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,97698483954° = 146°58'11″ = 0,57664848979 rad
∠ B' = β' = 125,15327029668° = 125°9'10″ = 0,9577265919 rad
∠ C' = γ' = 87,87774486379° = 87°52'39″ = 1,60878418366 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=9 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+9+11=26
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=226=13
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13(13−6)(13−9)(13−11) S=728=26,98
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 26,98=8,99 vb=b2 S=92⋅ 26,98=6 vc=c2 S=112⋅ 26,98=4,91
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−62)=33°1′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−92)=54°50′50" γ=180°−α−β=180°−33°1′49"−54°50′50"=92°7′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1326,98=2,08
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,075⋅ 136⋅ 9⋅ 11=5,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 112−62=9,592 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 62−92=7,632 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 92−112=5,315
Vypočítať ďaľší trojuholník