Trojuholník 7 8 8
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 8 c = 8Obsah trojuholníka: S = 25,17881154974
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Uhol ∠ A = α = 51,88989595447° = 51°53'20″ = 0,90656331895 rad
Uhol ∠ B = β = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 1,1187979732 rad
Uhol ∠ C = γ = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 1,1187979732 rad
Výška trojuholníka: va = 7,1943747285
Výška trojuholníka: vb = 6,29545288743
Výška trojuholníka: vc = 6,29545288743
Ťažnica: ta = 7,1943747285
Ťažnica: tb = 6,36439610307
Ťažnica: tc = 6,36439610307
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,18994013476
Polomer opísanej kružnice: R = 4,44883074999
Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[3,06325; 6,29545288743]
Ťažisko: T[3,68875; 2,09881762914]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; 1,94661345312]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,18994013476]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 128,11110404553° = 128°6'40″ = 0,90656331895 rad
∠ B' = β' = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 1,1187979732 rad
∠ C' = γ' = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 1,1187979732 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=8 c=8
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+8+8=23
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−7)(11,5−8)(11,5−8) S=633,94=25,18
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 25,18=7,19 vb=b2 S=82⋅ 25,18=6,29 vc=c2 S=82⋅ 25,18=6,29
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 882+82−72)=51°53′20" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 872+82−82)=64°3′20" γ=180°−α−β=180°−51°53′20"−64°3′20"=64°3′20"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=11,525,18=2,19
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,189⋅ 11,57⋅ 8⋅ 8=4,45
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 82−72=7,194 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 82+2⋅ 72−82=6,364 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 82−82=6,364
Vypočítať ďaľší trojuholník