Trojuholník 7 8 8




Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 8
c = 8

Obsah trojuholníka: S = 25,17881154974
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Uhol ∠ A = α = 51,88989595447° = 51°53'20″ = 0,90656331895 rad
Uhol ∠ B = β = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 1,1187979732 rad
Uhol ∠ C = γ = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 1,1187979732 rad

Výška trojuholníka na stranu a: va = 7,1943747285
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,29545288743
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,29545288743

Ťažnica: ta = 7,1943747285
Ťažnica: tb = 6,36439610307
Ťažnica: tc = 6,36439610307

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,18994013476
Polomer opísanej kružnice: R = 4,44883074999

Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[3,06325; 6,29545288743]
Ťažisko: T[3,68875; 2,09881762914]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; 1,94661345312]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,18994013476]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 128,11110404553° = 128°6'40″ = 0,90656331895 rad
∠ B' = β' = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 1,1187979732 rad
∠ C' = γ' = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 1,1187979732 rad


Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=8 c=8

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=7+8+8=23

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=232=11,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 23 }{ 2 } = 11{,}5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−7)(11,5−8)(11,5−8) S=11,5⋅ 4,5⋅ 3,5⋅ 3,5 S=633,94=25,178S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 11{,}5(11{,}5-7)(11{,}5-8)(11{,}5-8) } \ \\ S = \sqrt{ 11{,}5 \cdot \ 4{,}5 \cdot \ 3{,}5 \cdot \ 3{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 633{,}94 } = 25{,}178

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 25,1787=7,194 vb=2 Sb=2⋅ 25,1788=6,295 vc=2 Sc=2⋅ 25,1788=6,295S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 25{,}178 }{ 7 } = 7{,}194 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 25{,}178 }{ 8 } = 6{,}295 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 25{,}178 }{ 8 } = 6{,}295

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 8⋅ 882+82−72​)=51°53′20"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 7⋅ 872+82−82​)=64°3′20" γ=180°−α−β=180°−51°53′20"−64°3′20"=64°3′20"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=25,17811,5=2,189S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 25{,}178 }{ 11{,}5 } = 2{,}189

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=7⋅ 8⋅ 84⋅ 2,189⋅ 11,5=4,448R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 7 \cdot \ 8 \cdot \ 8 }{ 4 \cdot \ 2{,}189 \cdot \ 11{,}5 } = 4{,}448

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 82+2⋅ 82−722=7,194 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 82+2⋅ 72−822=6,364 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 72+2⋅ 82−822=6,364t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 8^2 - 7^2 } }{ 2 } = 7{,}194 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 7^2 - 8^2 } }{ 2 } = 6{,}364 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 8^2 - 8^2 } }{ 2 } = 6{,}364

Vypočítať ďaľší trojuholník