Trojuholník 7 9 12




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7   b = 9   c = 12

Obsah trojuholníka: S = 31,3054951685
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Uhol ∠ A = α = 35,43109446873° = 35°25'51″ = 0,61883866419 rad
Uhol ∠ B = β = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,68221373411 rad

Výška trojuholníka: va = 8,944427191
Výška trojuholníka: vb = 6,957665593
Výška trojuholníka: vc = 5,21774919475

Ťažnica: ta = 10,01224921973
Ťažnica: tb = 8,73221245983
Ťažnica: tc = 5,38551648071

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,23660679775
Polomer opísanej kružnice: R = 6,03773835392

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[4,66766666667; 5,21774919475]
Ťažisko: T[5,55655555556; 1,73991639825]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -0,67108203932]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,23660679775]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,56990553127° = 144°34'9″ = 0,61883866419 rad
∠ B' = β' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ C' = γ' = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,68221373411 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=9 c=12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=7+9+12=28

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=228=14

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=14(147)(149)(1412) S=980=31,3

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=72 31,3=8,94 vb=b2 S=92 31,3=6,96 vc=c2 S=122 31,3=5,22

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 1292+12272)=35°2551"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 7 1272+12292)=48°1123" γ=180°αβ=180°35°2551"48°1123"=96°2246"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1431,3=2,24

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,236 147 9 12=6,04

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 12272=10,012 tb=22c2+2a2b2=22 122+2 7292=8,732 tc=22a2+2b2c2=22 72+2 92122=5,385

Vypočítať ďaľší trojuholník