Trojuholník 9 9 11




Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 9   b = 9   c = 11

Obsah trojuholníka: S = 39,18114688341
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Uhol ∠ A = α = 52,33301130357° = 52°19'48″ = 0,91333327704 rad
Uhol ∠ B = β = 52,33301130357° = 52°19'48″ = 0,91333327704 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,34397739287° = 75°20'23″ = 1,31549271128 rad

Výška trojuholníka: va = 8,70769930743
Výška trojuholníka: vb = 8,70769930743
Výška trojuholníka: vc = 7,12439034244

Ťažnica: ta = 8,98661003778
Ťažnica: tb = 8,98661003778
Ťažnica: tc = 7,12439034244

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,70221702644
Polomer opísanej kružnice: R = 5,68550854914

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[5,5; 7,12439034244]
Ťažisko: T[5,5; 2,37546344748]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 1,4398817933]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,70221702644]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 127,67698869643° = 127°40'12″ = 0,91333327704 rad
∠ B' = β' = 127,67698869643° = 127°40'12″ = 0,91333327704 rad
∠ C' = γ' = 104,66602260713° = 104°39'37″ = 1,31549271128 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=9 c=11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=9+9+11=29

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=229=14,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=14,5(14,59)(14,59)(14,511) S=1535,19=39,18

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=92 39,18=8,71 vb=b2 S=92 39,18=8,71 vc=c2 S=112 39,18=7,12

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 1192+11292)=52°1948"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 9 1192+11292)=52°1948" γ=180°αβ=180°52°1948"52°1948"=75°2023"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=14,539,18=2,7

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,702 14,59 9 11=5,69

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 11292=8,986 tb=22c2+2a2b2=22 112+2 9292=8,986 tc=22a2+2b2c2=22 92+2 92112=7,124

Vypočítať ďaľší trojuholník