Trojuholník 9 9 11
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 9 c = 11Obsah trojuholníka: S = 39,18114688341
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 52,33301130357° = 52°19'48″ = 0,91333327704 rad
Uhol ∠ B = β = 52,33301130357° = 52°19'48″ = 0,91333327704 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,34397739287° = 75°20'23″ = 1,31549271128 rad
Výška trojuholníka: va = 8,70769930743
Výška trojuholníka: vb = 8,70769930743
Výška trojuholníka: vc = 7,12439034244
Ťažnica: ta = 8,98661003778
Ťažnica: tb = 8,98661003778
Ťažnica: tc = 7,12439034244
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,70221702644
Polomer opísanej kružnice: R = 5,68550854914
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[5,5; 7,12439034244]
Ťažisko: T[5,5; 2,37546344748]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 1,4398817933]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,70221702644]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 127,67698869643° = 127°40'12″ = 0,91333327704 rad
∠ B' = β' = 127,67698869643° = 127°40'12″ = 0,91333327704 rad
∠ C' = γ' = 104,66602260713° = 104°39'37″ = 1,31549271128 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=9 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+9+11=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−9)(14,5−9)(14,5−11) S=1535,19=39,18
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 39,18=8,71 vb=b2 S=92⋅ 39,18=8,71 vc=c2 S=112⋅ 39,18=7,12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−92)=52°19′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−92)=52°19′48" γ=180°−α−β=180°−52°19′48"−52°19′48"=75°20′23"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,539,18=2,7
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,702⋅ 14,59⋅ 9⋅ 11=5,69
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 112−92=8,986 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 92−92=8,986 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 92−112=7,124
Vypočítať ďaľší trojuholník