Výpočet trojúhelníku SSU
Trojúhelník má dvě řešení, strana c=161.43656881139 a c=11.7699392643
#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 100
b = 90
c = 161,43656881139
Obsah trojúhelníku: S = 4035,89222028481
Obvod trojúhelníku: o = 351,43656881139
Semiperimeter (poloobvod): s = 175,7187844057
Úhel ∠ A = α = 33,74989885959° = 33°44'56″ = 0,58990309702 rad
Úhel ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,25110114041° = 116°15'4″ = 2,02989629078 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 80,7187844057
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 89,68664933966
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 50
Těžnice: ta = 120,75107378794
Těžnice: tb = 126,51437964746
Těžnice: tc = 50,34551055297
Poloměr vepsané kružnice: r = 22,9688027092
Poloměr opsané kružnice: R = 90
Souřadnice vrcholů: A[161,43656881139; 0] B[0; 0] C[86,60325403784; 50]
Těžiště: T[82,67994094975; 16,66766666667]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[80,7187844057; -39,80774069841]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[85,7187844057; 22,9688027092]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,25110114041° = 146°15'4″ = 0,58990309702 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 63,74989885959° = 63°44'56″ = 2,02989629078 rad
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).1. Kosinová věta
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.
a=100 b=90 c=161,44
2. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=100+90+161,44=351,44
3. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2351,44=175,72
4. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.5. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.6. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.7. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.8. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.9. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 100
b = 90
c = 11,7699392643
Obsah trojúhelníku: S = 294,23548160741
Obvod trojúhelníku: o = 201,7699392643
Semiperimeter (poloobvod): s = 100,88546963215
Úhel ∠ A = α = 146,25110114041° = 146°15'4″ = 2,55325616834 rad
Úhel ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Úhel ∠ C = γ = 3,74989885959° = 3°44'56″ = 0,06554321946 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,88546963215
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,53985514683
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 50
Těžnice: ta = 40,2440021143
Těžnice: tb = 55,17548067653
Těžnice: tc = 94,94993041007
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,91765455892
Poloměr opsané kružnice: R = 90
Souřadnice vrcholů: A[11,7699392643; 0] B[0; 0] C[86,60325403784; 50]
Těžiště: T[32,79106443405; 16,66766666667]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,88546963215; 89,80774069841]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,88546963215; 2,91765455892]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 33,74989885959° = 33°44'56″ = 2,55325616834 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 176,25110114041° = 176°15'4″ = 0,06554321946 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).1. Kosinová věta
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.
a=100 b=90 c=11,77
2. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=100+90+11,77=201,77
3. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2201,77=100,88
4. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.5. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.6. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.7. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.8. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.9. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 902+2⋅ 11,772−1002=40,24 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 11,772+2⋅ 1002−902=55,175 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1002+2⋅ 902−11,772=94,949
Vypočítat další trojúhelník