Výpočet trojúhelníku SSU

Trojúhelník má dvě řešení, strana c=293.11222965642 a c=13.30554806834

#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 200
b = 190
c = 293,11222965642

Obsah trojúhelníku: S = 18840,8955247823
Obvod trojúhelníku: o = 683,11222965642
Semiperimeter (poloobvod): s = 341,55661482821

Úhel ∠ A = α = 42,58799653282° = 42°34'48″ = 0,74331605904 rad
Úhel ∠ B = β = 40° = 0,69881317008 rad
Úhel ∠ C = γ = 97,42200346718° = 97°25'12″ = 1.77003003624 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 188,40989524782
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 198,3255213135
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 128,55875219373

Těžnice: t_a = 225,84881994583
Těžnice: t_b = 232,23435229862
Těžnice: t_c = 128,73295436204

Poloměr vepsané kružnice: r = 55,16219267947
Poloměr opsané kružnice: R = 147,79437635517

Souřadnice vrcholů: A[293,11222965642; 0] B[0; 0] C[153,20988886238; 128,55875219373]
Těžiště: T[148,7743728396; 42,85325073124]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[146,55661482821; -19,08664335459]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[151,55661482821; 55,16219267947]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 137,42200346718° = 137°25'12″ = 0,74331605904 rad
∠ B' = β' = 140° = 0,69881317008 rad
∠ C' = γ' = 82,58799653282° = 82°34'48″ = 1.77003003624 rad

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Kosinová věta

a = 200 b = 190 β = 40 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β 19 0^{2} = 20 0^{2} + c^{2} - 2 \cdot 200 \cdot c \cdot cos 40 ° c^{2} - 306, 418 c + 3900 = 0 p = 1; q = - 306, 418; r = 3900 D = q^{2} - 4 p r = 306, 41 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3900 = 78291, 854213354 D > 0 c_{1, 2} = \frac{- q \pm D}{2 p} = \frac{3 0 6 , 4 2 \pm 7 8 2 9 1 , 8 5}{2} c_{1, 2} = 153, 208889 \pm 139, 903408 c_{1} = 293, 112296564 c_{2} = 13, 305480683 c > 0 c = 293, 11

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a = 200 b = 190 c = 293, 11

2. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 200 + 190 + 293, 11 = 683, 11

3. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 8 3 , 1 1}{2} = 341, 56

4. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 341, 56 (341, 56 - 200) (341, 56 - 190) (341, 56 - 293, 11) S = 354979333, 74 = 18840, 9

5. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9}{2 0 0} = 188, 41 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9}{1 9 0} = 198, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9}{2 9 3 , 1 1} = 128, 56

6. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 0 ^{2} + 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2 \cdot 1 9 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}) = 42 ° 3 4^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 0 ^{2} + 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}) = 40 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 42 ° 3 4^{'} 48 " - 40 ° = 97 ° 2 5^{'} 12 "

7. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 8 4 0 , 9}{3 4 1 , 5 6} = 55, 16

8. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 0 \cdot 1 9 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}{4 \cdot 5 5 , 1 6 2 \cdot 3 4 1 , 5 5 6} = 147, 79

9. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 0 ^{2} + 2 \cdot 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2} = 225, 848 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 3 , 1 1 ^{2} + 2 \cdot 2 0 0 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2} = 232, 234 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 0 ^{2} - 2 9 3 , 1 1 ^{2}}{2} = 128, 73

#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 200
b = 190
c = 13,30554806834

Obsah trojúhelníku: S = 855,26598124209
Obvod trojúhelníku: o = 403,30554806834
Semiperimeter (poloobvod): s = 201,65327403417

Úhel ∠ A = α = 137,42200346718° = 137°25'12″ = 2,39884320632 rad
Úhel ∠ B = β = 40° = 0,69881317008 rad
Úhel ∠ C = γ = 2,58799653282° = 2°34'48″ = 0,04550288896 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,55325981242
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,00327348676
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 128,55875219373

Těžnice: t_a = 90,21437345869
Těžnice: t_b = 105,18332586874
Těžnice: t_c = 194,95106118122

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,2411250632
Poloměr opsané kružnice: R = 147,79437635517

Souřadnice vrcholů: A[13,30554806834; 0] B[0; 0] C[153,20988886238; 128,55875219373]
Těžiště: T[55,50547897691; 42,85325073124]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,65327403417; 147,64439554832]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,65327403417; 4,2411250632]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 42,58799653282° = 42°34'48″ = 2,39884320632 rad
∠ B' = β' = 140° = 0,69881317008 rad
∠ C' = γ' = 177,42200346718° = 177°25'12″ = 0,04550288896 rad

Vypočítat další trojúhelník