Výpočet trojúhelníku

Zadané strany a, b a výška v_b.

Trojúhelník má dvě řešení: a=0.013; b=0.016; c=0.02441867732 a a=0.013; b=0.016; c=0.01662788206.

#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 0,013
b = 0,016
c = 0,02441867732

Obsah trojúhelníku: S = 09,6E-5
Obvod trojúhelníku: o = 0,05331867732
Semiperimeter (poloobvod): s = 0,02765933866

Úhel ∠ A = α = 29,74548812969° = 29°44'42″ = 0,51991461142 rad
Úhel ∠ B = β = 37,6355253755° = 37°38'7″ = 0,65768590928 rad
Úhel ∠ C = γ = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,96655874465 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 0,01547692308
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 0,012
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 0,0087938223

Těžnice: t_a = 0,01994486503
Těžnice: t_b = 0,0187691806
Těžnice: t_c = 0,00881394103

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,00436099201
Poloměr opsané kružnice: R = 0,01331011688

Souřadnice vrcholů: A[0,02441867732; 0] B[0; 0] C[0,0110294883; 0,0087938223]
Těžiště: T[0,01114938854; 0,00326460743]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[0,01220933866; -0,00550389111]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,01105933866; 0,00436099201]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,25551187031° = 150°15'18″ = 0,51991461142 rad
∠ B' = β' = 142,3654746245° = 142°21'53″ = 0,65768590928 rad
∠ C' = γ' = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,96655874465 rad

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: strany a, b a výška v_b.

2. Ze strany b a výšky v_b vypočítáme obsah S:

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a = 0, 01 b = 0, 02 c = 0, 02

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 0, 01 + 0, 02 + 0, 02 = 0, 05

4. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{0 , 0 5}{2} = 0, 03

5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 0, 03 (0, 03 - 0, 01) (0, 03 - 0, 02) (0, 03 - 0, 02) S = 0 = 0

6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{0 , 0 2 ^{2} + 0 , 0 2 ^{2} - 0 , 0 1 ^{2}}{2 \cdot 0 , 0 2 \cdot 0 , 0 2}) = 29 ° 4 4^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{0 , 0 1 ^{2} + 0 , 0 2 ^{2} - 0 , 0 2 ^{2}}{2 \cdot 0 , 0 1 \cdot 0 , 0 2}) = 37 ° 3 8^{'} 7 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 4 4^{'} 42 " - 37 ° 3 8^{'} 7 " = 112 ° 3 7^{'} 11 "

8. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{0}{0 , 0 3} = 0

9. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{0 , 0 1 \cdot 0 , 0 2 \cdot 0 , 0 2}{4 \cdot 0 , 0 0 4 \cdot 0 , 0 2 7} = 0, 01

10. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

#2 Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 0,013
b = 0,016
c = 0,01662788206

Obsah trojúhelníku: S = 09,6E-5
Obvod trojúhelníku: o = 0,04552788206
Semiperimeter (poloobvod): s = 0,02326394103

Úhel ∠ A = α = 47,4989552922° = 47°29'22″ = 0,82988490588 rad
Úhel ∠ B = β = 65,1330312026° = 65°7'49″ = 1,13767383877 rad
Úhel ∠ C = γ = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 0,01547692308
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 0,012
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 0,01217944662

Těžnice: t_a = 0,01547732867
Těžnice: t_b = 0,01223693169
Těžnice: t_c = 0,01220933866

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,00442403931
Poloměr opsané kružnice: R = 0,00988176945

Souřadnice vrcholů: A[0,01662788206; 0] B[0; 0] C[0,00554672265; 0,01217944662]
Těžiště: T[0,00772486824; 0,00439314887]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[0,00881394103; 0,0033391421]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,00766394103; 0,00442403931]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 132,5110447078° = 132°30'38″ = 0,82988490588 rad
∠ B' = β' = 114,8769687974° = 114°52'11″ = 1,13767383877 rad
∠ C' = γ' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strany a, b a výška v_b.

2. Ze strany b a výšky v_b vypočítáme obsah S:

a = 0, 01 b = 0, 02 c = 0, 02

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 0, 01 + 0, 02 + 0, 02 = 0, 05

4. Poloviční obvod trojúhelníku

s = \frac{o}{2} = \frac{0 , 0 5}{2} = 0, 02

5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 0, 02 (0, 02 - 0, 01) (0, 02 - 0, 02) (0, 02 - 0, 02) S = 0 = 0

6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{0 , 0 2 ^{2} + 0 , 0 2 ^{2} - 0 , 0 1 ^{2}}{2 \cdot 0 , 0 2 \cdot 0 , 0 2}) = 47 ° 2 9^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{0 , 0 1 ^{2} + 0 , 0 2 ^{2} - 0 , 0 2 ^{2}}{2 \cdot 0 , 0 1 \cdot 0 , 0 2}) = 65 ° 7^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 47 ° 2 9^{'} 22 " - 65 ° 7^{'} 49 " = 67 ° 2 2^{'} 49 "

8. Poloměr vepsané kružnice

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{0}{0 , 0 2} = 0

9. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{0 , 0 1 \cdot 0 , 0 2 \cdot 0 , 0 2}{4 \cdot 0 , 0 0 4 \cdot 0 , 0 2 3} = 0, 01

10. Výpočet těžnic

Vypočítat další trojúhelník

Výpočet trojúhelníku

#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strany a, b a výška vb.

2. Ze strany b a výšky vb vypočítáme obsah S:

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

4. Poloviční obvod trojúhelníku

5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

8. Poloměr vepsané kružnice

9. Poloměr opsané kružnice

10. Výpočet těžnic

#2 Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strany a, b a výška vb.

2. Ze strany b a výšky vb vypočítáme obsah S:

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

4. Poloviční obvod trojúhelníku

5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

8. Poloměr vepsané kružnice

9. Poloměr opsané kružnice

10. Výpočet těžnic

1. Zadané vstupní údaje: strany a, b a výška v_b.

2. Ze strany b a výšky v_b vypočítáme obsah S:

1. Zadané vstupní údaje: strany a, b a výška v_b.

2. Ze strany b a výšky v_b vypočítáme obsah S: