Výpočet trojúhelníku
Trojúhelník má dvě řešení: a=8.94; b=7.5; c=14.99217714647 a a=8.94; b=7.5; c=6.8998839638.
#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8,94
b = 7,5
c = 14,99217714647
Obsah trojúhelníku: S = 25,17
Obvod trojúhelníku: o = 31,43217714647
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,71658857323
Úhel ∠ A = α = 26,59769998929° = 26°35'49″ = 0,46442052193 rad
Úhel ∠ B = β = 22,06112492706° = 22°3'40″ = 0,38550414369 rad
Úhel ∠ C = γ = 131,34217508365° = 131°20'30″ = 2,29223459974 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,63108724832
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,712
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,35878420081
Těžnice: ta = 10,9788192284
Těžnice: tb = 11,75990775924
Těžnice: tc = 3,4499419819
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,60215642025
Poloměr opsané kružnice: R = 9,98440909486
Souřadnice vrcholů: A[14,99217714647; 0] B[0; 0] C[8,28554388567; 3,35878420081]
Těžiště: T[7,75990701071; 1,11992806694]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,49658857323; -6,59549806033]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,21658857323; 1,60215642025]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 153,40330001071° = 153°24'11″ = 0,46442052193 rad
∠ B' = β' = 157,93987507294° = 157°56'20″ = 0,38550414369 rad
∠ C' = γ' = 48,65882491635° = 48°39'30″ = 2,29223459974 rad
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).1. Zadané vstupní údaje: strany a, b a obsah S.
2. Z obsahu S a strany a vypočítáme výšku va - Obsah trojúhelníku je dán součinem délky základny a výšky děleno dva:
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.
3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
4. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=231,43=15,72
5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.8. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.9. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.10. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.#2 Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8,94
b = 7,5
c = 6,8998839638
Obsah trojúhelníku: S = 25,17
Obvod trojúhelníku: o = 23,3398839638
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,6699419819
Úhel ∠ A = α = 76,63549934795° = 76°38'6″ = 1,33875329585 rad
Úhel ∠ B = β = 54,7076757357° = 54°42'24″ = 0,9554813039 rad
Úhel ∠ C = γ = 48,65882491635° = 48°39'30″ = 0,84992466562 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,63108724832
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,712
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,29768792785
Těžnice: ta = 5,65216452627
Těžnice: tb = 7,05495598568
Těžnice: tc = 7,49658857323
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,15769195719
Poloměr opsané kružnice: R = 4,59444298542
Souřadnice vrcholů: A[6,8998839638; 0] B[0; 0] C[5,16551866176; 7,29768792785]
Těžiště: T[4,02113420852; 2,43222930928]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,4499419819; 3,03548457289]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,1699419819; 2,15769195719]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 103,36550065205° = 103°21'54″ = 1,33875329585 rad
∠ B' = β' = 125,2933242643° = 125°17'36″ = 0,9554813039 rad
∠ C' = γ' = 131,34217508365° = 131°20'30″ = 0,84992466562 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).1. Zadané vstupní údaje: strany a, b a obsah S.
2. Z obsahu S a strany a vypočítáme výšku va - Obsah trojúhelníku je dán součinem délky základny a výšky děleno dva:
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.
a=8,94 b=7,5 c=6,9
3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
4. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=223,34=11,67
5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.8. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.9. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.10. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.Vypočítat další trojúhelník