Výpočet trojúhelníku - výsledek

Zadané strana a, výška v_b a obsah S.

Trojúhelník má dvě řešení: a=52; b=31.42985714286; c=81.74330866668 a a=52; b=31.42985714286; c=26.48773174608.

#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 52
b = 31,42985714286
c = 81,74330866668

Obsah trojúhelníku: S = 330
Obvod trojúhelníku: o = 165,17216580953
Semiperimeter (poloobvod): s = 82,58658290477

Úhel ∠ A = α = 14,88663440988° = 14°53'11″ = 0,26598157181 rad
Úhel ∠ B = β = 8,93224972946° = 8°55'57″ = 0,15659014882 rad
Úhel ∠ C = γ = 156,18111586065° = 156°10'52″ = 2,72658754473 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,69223076923
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 21
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,0744077294

Těžnice: t_a = 56,20435911657
Těžnice: t_b = 66,6798537277
Těžnice: t_c = 13,24436587304

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,99658429165
Poloměr opsané kružnice: R = 101,20657263493

Souřadnice vrcholů: A[81,74330866668; 0] B[0; 0] C[51,36993417891; 8,0744077294]
Těžiště: T[44,37108094853; 2,6911359098]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[40,87215433334; -92,58657223952]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[51,15772576191; 3,99658429165]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,11436559012° = 165°6'49″ = 0,26598157181 rad
∠ B' = β' = 171,06875027054° = 171°4'3″ = 0,15659014882 rad
∠ C' = γ' = 23,81988413935° = 23°49'8″ = 2,72658754473 rad

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: strana a, výška v_b a obsah S.

a = 52 v_{b} = 21 S = 330

2. Z obsahu S a strany a vypočítáme výšku v_a - Obsah trojúhelníku je dán součinem délky základny a výšky děleno dva:

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{5 2} = 12, 692

3. Z obsahu S a výšky v_b vypočítáme stranu b:

S = \frac{b v _{b}}{2} b = \frac{2 S}{v _{b}} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{2 1} = 31, 429

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a = 52 b = 31, 43 c = 81, 74

4. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 52 + 31, 43 + 81, 74 = 165, 17

5. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 6 5 , 1 7}{2} = 82, 59

6. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 82, 59 (82, 59 - 52) (82, 59 - 31, 43) (82, 59 - 81, 74) S = 108900 = 330

7. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{5 2} = 12, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{3 1 , 4 3} = 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{8 1 , 7 4} = 8, 07

8. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 1 , 4 3 ^{2} + 8 1 , 7 4 ^{2} - 5 2 ^{2}}{2 \cdot 3 1 , 4 3 \cdot 8 1 , 7 4}) = 14 ° 5 3^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 2 ^{2} + 8 1 , 7 4 ^{2} - 3 1 , 4 3 ^{2}}{2 \cdot 5 2 \cdot 8 1 , 7 4}) = 8 ° 5 5^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 5 3^{'} 11 " - 8 ° 5 5^{'} 57 " = 156 ° 1 0^{'} 52 "

9. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 3 0}{8 2 , 5 9} = 4

10. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 2 \cdot 3 1 , 4 3 \cdot 8 1 , 7 4}{4 \cdot 3 , 9 9 6 \cdot 8 2 , 5 8 6} = 101, 21

11. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 1 , 4 3 ^{2} + 2 \cdot 8 1 , 7 4 ^{2} - 5 2 ^{2}}{2} = 56, 204 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 1 , 7 4 ^{2} + 2 \cdot 5 2 ^{2} - 3 1 , 4 3 ^{2}}{2} = 66, 679 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 2 ^{2} + 2 \cdot 3 1 , 4 3 ^{2} - 8 1 , 7 4 ^{2}}{2} = 13, 244

#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 52
b = 31,42985714286
c = 26,48773174608

Obsah trojúhelníku: S = 330
Obvod trojúhelníku: o = 109,91658888894
Semiperimeter (poloobvod): s = 54,95879444447

Úhel ∠ A = α = 127,54990151964° = 127°32'56″ = 2,22661502729 rad
Úhel ∠ B = β = 28,63221434101° = 28°37'56″ = 0.54997251744 rad
Úhel ∠ C = γ = 23,81988413935° = 23°49'8″ = 0,41657172063 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,69223076923
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 21
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 24,91875855945

Těžnice: t_a = 12,98771684426
Těžnice: t_b = 38,15656053238
Těžnice: t_c = 40,87215433334

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,00545913895
Poloměr opsané kružnice: R = 32,79438216182

Souřadnice vrcholů: A[26,48773174608; 0] B[0; 0] C[45,6411142932; 24,91875855945]
Těžiště: T[24,04328201309; 8,30658618648]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,24436587304; 30,00106706551]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[23,52993730161; 6,00545913895]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 52,45109848036° = 52°27'4″ = 2,22661502729 rad
∠ B' = β' = 151,36878565899° = 151°22'4″ = 0.54997251744 rad
∠ C' = γ' = 156,18111586065° = 156°10'52″ = 0,41657172063 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strana a, výška v_b a obsah S.

a = 52 v_{b} = 21 S = 330

2. Z obsahu S a strany a vypočítáme výšku v_a - Obsah trojúhelníku je dán součinem délky základny a výšky děleno dva:

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{5 2} = 12, 692

3. Z obsahu S a výšky v_b vypočítáme stranu b:

S = \frac{b v _{b}}{2} b = \frac{2 S}{v _{b}} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{2 1} = 31, 429

a = 52 b = 31, 43 c = 26, 49

4. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 52 + 31, 43 + 26, 49 = 109, 92

5. Poloviční obvod trojúhelníku

s = \frac{o}{2} = \frac{1 0 9 , 9 2}{2} = 54, 96

6. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 54, 96 (54, 96 - 52) (54, 96 - 31, 43) (54, 96 - 26, 49) S = 108900 = 330

7. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{5 2} = 12, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{3 1 , 4 3} = 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{2 6 , 4 9} = 24, 92

8. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 1 , 4 3 ^{2} + 2 6 , 4 9 ^{2} - 5 2 ^{2}}{2 \cdot 3 1 , 4 3 \cdot 2 6 , 4 9}) = 127 ° 3 2^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 2 ^{2} + 2 6 , 4 9 ^{2} - 3 1 , 4 3 ^{2}}{2 \cdot 5 2 \cdot 2 6 , 4 9}) = 28 ° 3 7^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 127 ° 3 2^{'} 56 " - 28 ° 3 7^{'} 56 " = 23 ° 4 9^{'} 8 "

9. Poloměr vepsané kružnice

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 3 0}{5 4 , 9 6} = 6

10. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 2 \cdot 3 1 , 4 3 \cdot 2 6 , 4 9}{4 \cdot 6 , 0 0 5 \cdot 5 4 , 9 5 8} = 32, 79

11. Výpočet těžnic

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 1 , 4 3 ^{2} + 2 \cdot 2 6 , 4 9 ^{2} - 5 2 ^{2}}{2} = 12, 987 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 , 4 9 ^{2} + 2 \cdot 5 2 ^{2} - 3 1 , 4 3 ^{2}}{2} = 38, 156 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 2 ^{2} + 2 \cdot 3 1 , 4 3 ^{2} - 2 6 , 4 9 ^{2}}{2} = 40, 872

Vypočítat další trojúhelník

Výpočet trojúhelníku - výsledek

#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strana a, výška vb a obsah S.

2. Z obsahu S a strany a vypočítáme výšku va - Obsah trojúhelníku je dán součinem délky základny a výšky děleno dva:

3. Z obsahu S a výšky vb vypočítáme stranu b:

4. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

5. Poloviční obvod trojúhelníku

6. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

7. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

8. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

9. Poloměr vepsané kružnice

10. Poloměr opsané kružnice

11. Výpočet těžnic

#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strana a, výška vb a obsah S.

2. Z obsahu S a strany a vypočítáme výšku va - Obsah trojúhelníku je dán součinem délky základny a výšky děleno dva:

3. Z obsahu S a výšky vb vypočítáme stranu b:

4. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

5. Poloviční obvod trojúhelníku

6. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

7. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

8. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

9. Poloměr vepsané kružnice

10. Poloměr opsané kružnice

11. Výpočet těžnic

1. Zadané vstupní údaje: strana a, výška v_b a obsah S.

2. Z obsahu S a strany a vypočítáme výšku v_a - Obsah trojúhelníku je dán součinem délky základny a výšky děleno dva:

3. Z obsahu S a výšky v_b vypočítáme stranu b:

1. Zadané vstupní údaje: strana a, výška v_b a obsah S.

2. Z obsahu S a strany a vypočítáme výšku v_a - Obsah trojúhelníku je dán součinem délky základny a výšky děleno dva:

3. Z obsahu S a výšky v_b vypočítáme stranu b: