Výpočet trojúhelníku

Zadané strany a, c a výška v_c.

Trojúhelník má dvě řešení: a=7.42; b=19.17114422912; c=12.5 a a=7.42; b=7.4210822089; c=12.5.

#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7,42
b = 19,17114422912
c = 12,5

Obsah trojúhelníku: S = 25
Obvod trojúhelníku: o = 39,09114422912
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,54657211456

Úhel ∠ A = α = 12,04328794408° = 12°2'34″ = 0,21101878977 rad
Úhel ∠ B = β = 147,37987255658° = 147°22'43″ = 2,57222440085 rad
Úhel ∠ C = γ = 20,57883949933° = 20°34'42″ = 0,35991607474 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,73985444744
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,60880458236
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4

Těžnice: t_a = 15,75222379287
Těžnice: t_b = 3,71104110445
Těžnice: t_c = 13,12439399481

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,27990523212
Poloměr opsané kružnice: R = 17,78215127251

Souřadnice vrcholů: A[12,5; 0] B[0; 0] C[-6,25495119809; 4]
Těžiště: T[2,08334960064; 1,33333333333]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,25; 16,64769124702]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,37442788544; 1,27990523212]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 167,95771205592° = 167°57'26″ = 0,21101878977 rad
∠ B' = β' = 32,62112744342° = 32°37'17″ = 2,57222440085 rad
∠ C' = γ' = 159,42216050067° = 159°25'18″ = 0,35991607474 rad

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: strany a, c a výška v_c.

2. Ze strany c a výšky v_c vypočítáme obsah S:

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a = 7, 42 b = 19, 17 c = 12, 5

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

4. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9 , 0 9}{2} = 19, 55

5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 , 1 7 ^{2} + 1 2 , 5 ^{2} - 7 , 4 2 ^{2}}{2 \cdot 1 9 , 1 7 \cdot 1 2 , 5}) = 12 ° 2^{'} 34 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 , 4 2 ^{2} + 1 2 , 5 ^{2} - 1 9 , 1 7 ^{2}}{2 \cdot 7 , 4 2 \cdot 1 2 , 5}) = 147 ° 2 2^{'} 43 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 2^{'} 34 " - 147 ° 2 2^{'} 43 " = 20 ° 3 4^{'} 42 "

8. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

9. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 , 4 2 \cdot 1 9 , 1 7 \cdot 1 2 , 5}{4 \cdot 1 , 2 7 9 \cdot 1 9 , 5 4 6} = 17, 78

10. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7,42
b = 7,4210822089
c = 12,5

Obsah trojúhelníku: S = 25
Obvod trojúhelníku: o = 27,3410822089
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,67704110445

Úhel ∠ A = α = 32,61772119333° = 32°37'2″ = 0,56992777411 rad
Úhel ∠ B = β = 32,62112744342° = 32°37'17″ = 0,56993486451 rad
Úhel ∠ C = γ = 114,76215136326° = 114°45'41″ = 2,00329662675 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,73985444744
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,73877979691
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4

Těžnice: t_a = 9,58661984247
Těžnice: t_b = 9,58657211456
Těžnice: t_c = 44,0000000298

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,82987672491
Poloměr opsané kružnice: R = 6,88328124875

Souřadnice vrcholů: A[12,5; 0] B[0; 0] C[6,25495119809; 4]
Těžiště: T[6,2549837327; 1,33333333333]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,25; -2,88328124702]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,25495889555; 1,82987672491]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,38327880668° = 147°22'58″ = 0,56992777411 rad
∠ B' = β' = 147,37987255658° = 147°22'43″ = 0,56993486451 rad
∠ C' = γ' = 65,23884863674° = 65°14'19″ = 2,00329662675 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strany a, c a výška v_c.

2. Ze strany c a výšky v_c vypočítáme obsah S:

a = 7, 42 b = 7, 42 c = 12, 5

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7, 42 + 7, 42 + 12, 5 = 27, 34

4. Poloviční obvod trojúhelníku

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7 , 3 4}{2} = 13, 67

5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 67 (13, 67 - 7, 42) (13, 67 - 7, 42) (13, 67 - 12, 5) S = 625 = 25

6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 5}{7 , 4 2} = 6, 74 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 5}{7 , 4 2} = 6, 74 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 5}{1 2 , 5} = 4

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 , 4 2 ^{2} + 1 2 , 5 ^{2} - 7 , 4 2 ^{2}}{2 \cdot 7 , 4 2 \cdot 1 2 , 5}) = 32 ° 3 7^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 , 4 2 ^{2} + 1 2 , 5 ^{2} - 7 , 4 2 ^{2}}{2 \cdot 7 , 4 2 \cdot 1 2 , 5}) = 32 ° 3 7^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 32 ° 3 7^{'} 2 " - 32 ° 3 7^{'} 17 " = 114 ° 4 5^{'} 41 "

8. Poloměr vepsané kružnice

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 5}{1 3 , 6 7} = 1, 83

9. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 , 4 2 \cdot 7 , 4 2 \cdot 1 2 , 5}{4 \cdot 1 , 8 2 9 \cdot 1 3 , 6 7} = 6, 88

10. Výpočet těžnic

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 4 2 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 5 ^{2} - 7 , 4 2 ^{2}}{2} = 9, 586 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 5 ^{2} + 2 \cdot 7 , 4 2 ^{2} - 7 , 4 2 ^{2}}{2} = 9, 586 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 4 2 ^{2} + 2 \cdot 7 , 4 2 ^{2} - 1 2 , 5 ^{2}}{2} = 4

Vypočítat další trojúhelník

Výpočet trojúhelníku

#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strany a, c a výška vc.

2. Ze strany c a výšky vc vypočítáme obsah S:

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

4. Poloviční obvod trojúhelníku

5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

8. Poloměr vepsané kružnice

9. Poloměr opsané kružnice

10. Výpočet těžnic

#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strany a, c a výška vc.

2. Ze strany c a výšky vc vypočítáme obsah S:

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

4. Poloviční obvod trojúhelníku

5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

8. Poloměr vepsané kružnice

9. Poloměr opsané kružnice

10. Výpočet těžnic

1. Zadané vstupní údaje: strany a, c a výška v_c.

2. Ze strany c a výšky v_c vypočítáme obsah S:

1. Zadané vstupní údaje: strany a, c a výška v_c.

2. Ze strany c a výšky v_c vypočítáme obsah S: