Výpočet trojúhelníku
Trojúhelník má dvě řešení: a=48.08; b=86.82766125044; c=40 a a=48.08; b=16.86774882839; c=40.
#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 48,08
b = 86,82766125044
c = 40
Obsah trojúhelníku: S = 320
Obvod trojúhelníku: o = 174,90766125044
Semiperimeter (poloobvod): s = 87,45333062522
Úhel ∠ A = α = 10,61988837049° = 10°37'8″ = 0,18553344835 rad
Úhel ∠ B = β = 160,56224815487° = 160°33'45″ = 2,80223439582 rad
Úhel ∠ C = γ = 8,81986347464° = 8°49'7″ = 0,15439142119 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,31111480865
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,3711011969
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 16
Těžnice: ta = 63,17883880729
Těžnice: tb = 8,4343744142
Těžnice: tc = 67,2770153259
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,65990955072
Poloměr opsané kružnice: R = 130,45769852879
Souřadnice vrcholů: A[40; 0] B[0; 0] C[-45,34396779874; 16]
Těžiště: T[-1,78798926625; 5,33333333333]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[20; 128,91547974842]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,62766937478; 3,65990955072]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,38111162951° = 169°22'52″ = 0,18553344835 rad
∠ B' = β' = 19,43875184513° = 19°26'15″ = 2,80223439582 rad
∠ C' = γ' = 171,18113652536° = 171°10'53″ = 0,15439142119 rad
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).1. Zadané vstupní údaje: strany a, c a výška vc.
2. Ze strany c a výšky vc vypočítáme obsah S:
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.
3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
4. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.8. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.9. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.10. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 48,08
b = 16,86774882839
c = 40
Obsah trojúhelníku: S = 320
Obvod trojúhelníku: o = 104,94774882839
Semiperimeter (poloobvod): s = 52,4743744142
Úhel ∠ A = α = 108,45553944967° = 108°27'19″ = 1,89329037255 rad
Úhel ∠ B = β = 19,43875184513° = 19°26'15″ = 0,33992486954 rad
Úhel ∠ C = γ = 52,10770870521° = 52°6'26″ = 0,90994402327 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,31111480865
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 37,94328157427
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 16
Těžnice: ta = 19,08875477866
Těžnice: tb = 43,41333062522
Těžnice: tc = 29,96883045984
Poloměr vepsané kružnice: r = 6,09882879197
Poloměr opsané kružnice: R = 25,34334011466
Souřadnice vrcholů: A[40; 0] B[0; 0] C[45,34396779874; 16]
Těžiště: T[28,44765593291; 5,33333333333]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[20; 15,56656025158]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[35,6066255858; 6,09882879197]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 71,54546055033° = 71°32'41″ = 1,89329037255 rad
∠ B' = β' = 160,56224815487° = 160°33'45″ = 0,33992486954 rad
∠ C' = γ' = 127,89329129479° = 127°53'34″ = 0,90994402327 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).1. Zadané vstupní údaje: strany a, c a výška vc.
2. Ze strany c a výšky vc vypočítáme obsah S:
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.
3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
4. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.8. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.9. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.10. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.Vypočítat další trojúhelník