Cyklistovi 31691

Dva cyklisté jsou od sebe vzdáleni 20 km na stejné cestě. Startují ve stejnou dobu směrem k sobě rychlostí 10 km/h. Moucha sedící na rukojeti jednoho z cyklistů začne letět směrem k druhému cyklistovi rychlostí 20 km/h. Dotkne se rukojeti a letí zpátky k prvnímu. Podobně to pokračuje, dokud se dva cyklisté nesetkají. Jakou vzdálenost ujela moucha a kolikrát se přemístila tam a zpět?

Správná odpověď:

x =  20 km
n = INF

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} v_1=10\text{km/h} \\ {v}_2=20\text{km/h} \\ s=20\text{km} \\ {v}_2>v_1 \\ {t}_1=s/(v_1+v_2)=20/(10+20)=\frac{2}{3}\doteq 0,6667\text{h} \\ {s}_1=v_2\cdot t_1=20\cdot \frac{2}{3}=\frac{20\cdot 2}{3}=\frac{40}{3}\doteq 13,3333\text{km} \\ {t}_2=(s-2\cdot t_1\cdot v_1)/(v_1+v_2)=(20-2\cdot \frac{2}{3}\cdot 10)/(10+20)=\frac{2}{9}\doteq 0,2222\text{h} \\ {s}_2=v_2\cdot t_2=20\cdot \frac{2}{9}=\frac{20\cdot 2}{9}=\frac{40}{9}\doteq 4,4444\text{km} \\ {t}_3=(s-2\cdot (t_1+t_2)\cdot v_1)/(v_1+v_2)=(20-2\cdot (\frac{2}{3}+\frac{2}{9})\cdot 10)/(10+20)=\frac{2}{27}\doteq 0,0741\text{h} \\ {s}_3=v_2\cdot t_3=20\cdot \frac{2}{27}=\frac{20\cdot 2}{27}=\frac{40}{27}\doteq 1,4815\text{km} \\ {q}_1=t_2/t_1=\frac{2}{9}/\frac{2}{3}=\frac{2}{9}:\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\cdot \frac{3}{2}=\frac{2\cdot 3}{9\cdot 2}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\doteq 0,3333 \\ {q}_2=t_3/t_2=\frac{2}{27}/\frac{2}{9}=\frac{2}{27}:\frac{2}{9}=\frac{2}{27}\cdot \frac{9}{2}=\frac{2\cdot 9}{27\cdot 2}=\frac{18}{54}=\frac{1}{3}\doteq 0,3333 \\ q=q_1=\frac{1}{3}\doteq 0,3333 \\ {a}_1=t_1=\frac{2}{3}\doteq 0,6667 \\ t=t_1+t_2+t_3+\dots \\ t=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,6667}{1-0,3333}=1\text{h} \\ x=v_2\cdot t=20\cdot 1=20\text{km} \end{gathered}$$

$n=\infty$

Zkusit jiný příklad