Optimální životnost traktoru

Obec zakoupila ve výchozím roce pro potřeby zimní údržby traktor v nákupní ceně 70 000 €. Jeho hodnota klesá exponenciálně a po dvou letech má hodnotu 49 000 €. Náklady na údržbu rostou exponenciálně, v prvním roce jsou 1200 € a ve druhém roce jsou 2500 €.

A Zjistěte optimální životnost traktoru A:
B - vypocet průměrných nákladů za A+1
C - výpočet zbytkové ceny traktoru v roce optimální životnosti
D - výpočet nákladů na údržbu ve třetím roce

Diki moc

Správná odpověď:

A =  4,7282
C =  16807 Eur
D =  5208,3333 Eur

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_1=70000\text{Eur} \\ {a}_2=49000\text{Eur} \\ q=a_2/a_1=49000/70000=\frac{7}{10}=0,7 \\ {n}_1=1200\text{Eur} \\ {n}_2=2500\text{Eur} \\ r=n_2/n_1=2500/1200=\frac{25}{12}=2\frac{1}{12}\doteq 2,0833 \\ {a}_1\cdot q^{A-1}=n_1\cdot r^{A-1} \\ \ln a_1+(A-1)\cdot \ln q=\ln n_1+(A-1)\cdot \ln r \\ A=1+\frac{\ln (n_1)-\ln (a_1)}{\ln q-\ln r}=1+\frac{\ln 1200-\ln 70000}{\ln 0,7-\ln 2,0833}=4,7282 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} o=[A]=[4,7282]=5 \\ C=a_1\cdot q^{o-1}=70000\cdot 0,7^{5-1}=16807=16807\text{Eur} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {n}_5=n_1\cdot r^{o-1}=1200\cdot 2,0833^{5-1}\doteq 22605,6134 \\ {n}_5>C \end{gathered}$$

$D=n_1\cdot r^2=1200\cdot {\frac{25}{12}}^2=5208,3333\text{Eur}$

Zkusit jiný příklad