Dvě aritmetické

Dvě aritmetické posloupnosti mají stejný prvý člen. n-tý člen prvé posloupnosti je 15, druhé posloupnosti 21. Součet prvých n členů prvé posloupnosti je 63, druhé posloupnosti 84. Vypište součty prvních n členů obou posloupností

Správná odpověď:

a₁ =  3
b₁ =  3

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_1=b_1 \\ a=15 \\ b=21 \\ {s}_1=63 \\ {s}_2=84 \\ {s}_1=(a_1+a)/2\cdot n \\ {s}_2=(a_1+b)/2\cdot n \\ {s}_1/s_2=(a_1+a)/(a_1+b) \\ {s}_1\cdot (a_1+b)=(a_1+a)\cdot s_2 \\ 63\cdot (a_1+21)=(a_1+15)\cdot 84 \\ 21a_1=63 \\ {a}_1=\frac{63}{21}=3 \\ {a}_1=3 \\ {s}_1\cdot a_1+s_1\cdot b=a_1\cdot s_2+a\cdot s_2 \\ {a}_1=\frac{a\cdot s_2-s_1\cdot b}{s_1-s_2}=\frac{15\cdot 84-63\cdot 21}{63-84}=3 \\ n=2\cdot s_1/(a_1+a)=2\cdot 63/(3+15)=7 \end{gathered}$$

$b_1=a_1=3$

Zkusit jiný příklad