Z6–I–5 MO 2024

Péťa složil z navzájem shodných trojúhelníků několik rovinných útvarů. Obvody prvních tří jsou postupně 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Určete obvod čtvrtého útvaru

Správná odpověď:

o₄ =  10 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} \Delta o=a+b+c \\ {o}_1=8\text{cm} \\ {o}_2=11,4\text{cm} \\ {o}_3=14,7\text{cm} \\ {o}_1=2a+2b \\ {o}_2=2a+2c \\ {o}_3=3\cdot (a+b+c)-(a+b+c)=2\cdot (a+b+c)=2a+2b+2c \\ {o}_1=2a+2b \\ {o}_2=2a+2c \\ {o}_3=2a+2b+2c \\ 8=2a+2b \\ 11,4=2a+2c \\ 14,7=2a+2b+2c \\ 8=2\cdot a+2\cdot b \\ 11,4=2\cdot a+2\cdot c \\ 14,7=2\cdot a+2\cdot b+2\cdot c \\ 2a+2b=8 \\ 2a+2c=11,4 \\ 2a+2b+2c=14,7 \\ \check{R}\acute{a}dek2-\check{R}\acute{a}dek1\to \check{R}\acute{a}dek2 \\ 2a+2b=8 \\ -2b+2c=3,4 \\ 2a+2b+2c=14,7 \\ \check{R}\acute{a}dek3-\check{R}\acute{a}dek1\to \check{R}\acute{a}dek3 \\ 2a+2b=8 \\ -2b+2c=3,4 \\ 2c=6,7 \\ c=\frac{6,7}{2}=3,35 \\ b=\frac{3,4-2c}{-2}=\frac{3,4-2\cdot 3,35}{-2}=1,65 \\ a=\frac{8-2b}{2}=\frac{8-2\cdot 1,65}{2}=2,35 \\ a=\frac{47}{20}=2,35 \\ b=\frac{33}{20}=1,65 \\ c=\frac{67}{20}=3,35 \\ {o}_4=2\cdot b+2\cdot c=2\cdot 1,65+2\cdot 3,35=10\text{cm} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad