Variácie s opakovaním n=72, k=12 výsledok
Kalkulačka vypočíta počet variácií s opakovaním. Variácia k-tej triedy s opakovaním z n prvkov je každá usporiadaná k-prvková skupina zostavená iba z týchto n prvkov tak, že sa každý prvok môže ľubovoľne krát opakovať.Výpočet:
Vk′(n)=nk n=72 k=12 V12′(72)=7212=1,9408409961765×1022
Počet variácií s opakovaním: 1.9408409961765×1022
19408409961765342806016
Trošku teórie - základy kombinatoriky
Variácie
Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine (preto usporiadaná).Počet variácií vypočítame ľahko použitím kombinatorického pravidla súčinu. Ak máme napríklad množinu n=5 čísel 1,2,3,4,5 a máme urobiť variácie tretej triedy, bude ich V3(5) = 5*4*3 = 60.
Vk(n)=n(n−1)(n−2)...(n−k+1)=(n−k)!n!
n! voláme faktoriál čísla n a je to súčin prvých n prirodzených čísel. Zápis s faktoriálom je len prehľadnejší, ekvivalentný, pre výpočty je plne postačujúce používať postup vyplývajúci z kombinatorického pravidla súčinu.
Permutácie
Permutácia je synonymický názov pre variáciu n-tej triedy z n-prvkov. Je to teda každá n-prvková usporiadaná skupina vytvorená z n-prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine.P(n)=n(n−1)(n−2)...1=n!
Typický príklad je: Máme 4 knihy a koľkými spôsobmi ich môžme usporiadať vedľa seba v poličke?
Variácie s opakovaním
Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorených z množiny n prvkov, pričom prvky sa môžu opakovať a záleží na ich poradí. Typickým príkladom je tvorenie čísel z číslic 2,3,4,5 a zistenie ich počtu. Ich počet podľa kombinatorického pravidla súčinu vypočítame:Vk′(n)=n⋅n⋅n⋅n...n=nk
Permutácie s opakovaním
Permutácia s opakovaním je usporiadaná k-prvková skupina z n-prvkov, pričom niektoré prvky sa opakujú v skupine. Opakovanie niektorých (alebo všetkých v skupine) znižuje počet takýchto permutácií s opakovaním.Pk1k2k3...km′(n)=k1!k2!k3!...km!n!
Typický príklad je zistiť koľko je sedemmiestnych čísel utvorených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.
Kombinácie
Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je neusporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a nezáleži na poradí prvkov v skupine. Neusporiadané skupiny sa v matematike volajú množiny resp. podmnožiny. Ich počet je kombinačné číslo a vypočíta sa takto:Ck(n)=(kn)=k!(n−k)!n!
Typický príklad na kombinácie je že máme 15 žiakov a máme vybrať trojice. Koľko ich bude?
Kombinácie s opakovaním
Tu vyberáme k prvkové skupiny z n prvkov, pričom nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať. k je logicky väčšie ako n (inak by sme dostali kombinácie obyčajné). Ich počet je:Ck′(n)=(kn+k−1)=k!(n−1)!(n+k−1)!
Vysvetlenie vzorca - počet kombinácii s opakovaním sa rovná počtu umiestnení n−1 oddeľovačov na n-1+k miest. Typický príklad je: ideme si do obchodu kúpiť 6 čokolád. V ponuke majú len 3 druhy. Koľko máme možností? k=6, n=3..
Základy kombinatoriky v slovných úlohách
- Podmienená pravdepodobnosť
Výrobok má s pravdepodobnosťou 10 % vzhľadovú chybu, s pravdepodobnosťou 6 % funkčnú chybu a s pravdepodobnosťou 3 % obidve chyby súčasne. Sú náhodné udalosti A - výrobok má vzhľadovú chybu a B - výrobok má funkčnú chybu, nezávislé? - Šachový 2
Šachový krúžok má 5 členov, z toho dve dievčatá. Vedúci krúžku chce žrebom určiť, ktorý člen bude krúžok reprezentovať na turnaji reprezentantov. Aká je pravdepodobnosť že bude vyžrebované dievča? - Basketbal 4
Pri basketbalovom zápase hrajú dvaja pivoti, dvaja krídelníci a jeden rozohrávač. Tréner ma na lavičke k dispozícii 3 pivotov, 4 kridelných hráčov a 2 rozohravacov. Koľko rôznych pätíc hráčov môže poslať tréner na palubovku počas zápasu? - Jedálniček
Na jedálnom lístku je 12 druhov jedál. Koľkými spôsobmi môžeme vybrať 4 rôzne jedlá do denného menu?
- Firma
Firma doteraz vyrobila 500 000 áut a z toho 5000 bolo vadných. Aká je pravdepodobnosť, že z dennej produkcie 50 áut bude najviac jedno auto vadné? - Štartovné čísla
V žrebovacom zariadení sú štartovné čísla od 1 do 20. Aká je pravdepodobnosť, že si prvý žrebujúci pretekár v zjazdovom lyžovaní vyžrebuje štartovné číslo menšie ako 6? - Náhodná udalosť
Aká je pravdepodobnosť náhodnej udalosti, že zo spoločnosti 5 mužov a 7 žien ako prvý odišiel muž? - Olympiáda
Koľkými spôsobmi sa môžu umiestniť šiesti pretekári na medailových pozíciách na olympiáde? Na farbe kovu záleží. - Medaila
Koľkými spôsobmi je možné rozdeliť zlatú, striebornú a bronzovú medailu medzi 30 súťažiacich?
- Vrecko
V nepriehladnom vrecku sú červené, biele, žlté, modré žetóny, ťaháme 3x po jednom žetóne a opäť ho vrátime, napíš všetky možnosti - Pravdepodobnosť 2955
V triede je 18 dievčat a 13 chlapcov. Pre dozor cez prestávky sa žrebom určia 4 žiaci. Aká je pravdepodobnosť, že to budú sami chlapci? - Maturitka
Slohových maturitných tém zo Slovenského jazyka je 8. Minister školstva z nich vyžrebuje 4. Aká je pravdepodobnosť že vyberie aspoň jednu z dvojice Úvaha, Diskusný príspevok. - Guľôčky
Vo vrecúšku máme 4 červené, 3 modré, 6 žltých a 2 čierne guľôčky. Určte pravdepodobnosť vytiahnutia modrej alebo červenej guľôčky. - Hráč futbalového
Hráč futbalového tímu strelí gól z pokutového kopu s pravdepodobnostou 0,8. Brankár má úspešnosť chytených pokutových kopov 0,4 Aká je pravdepodobnosť že: a) - padne gól pri realizácii jedného kopu b) - že gól nepadne pri realizácii jedného kopu
slovné úlohy - viacej »