Komplexné čísla kalkulačka

Algebraický tvar:
z = 2i

Fázor (modul a argument):
z = 2 ∠ 90°

Goniometrický tvar:
z = 2 × (cos 90° + i sin 90°)

Exponenciálny tvar:
z = 2 × e^{i 1,5707963} = 2 × e^{i π/2}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 1,5707963 rad = 90° = 0,5π = π/2 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 2i
Reálna časť: x = Re z = 0
Imaginárna časť: y = Im z = 2

Táto kalkulačka poskytuje služby výpočtu a vyhodnotenia výrazov v množine komplexných čísel. Imaginárna jednotka je označená ako i alebo j (najmä v elektrotechnike); spĺňa rovnicu i² = -1 alebo j² = -1 . Kalkulačka má tiež konverziu komplexného čísla do goniometrického, exponenciálneho tvaru alebo do polárnych súradnic. Zadajte výraz s komplexnými číslami, ako napríklad 5*(1+i)(-2-5i)^2

Komplexné čísla vo verzorovom tvare (polárne súradnice r,θ) zadávajte v tvare rLθ napr. 5L65, čo je to isté ako 5*cis(65°).
Príklad násobenia dvoch čísel vo verzorovom tvare: 10L45 * 3L90.

Pre použitie v školstve napr. výpočtoch striedavých prúdov na strednej odbornej škole potrebujete rýchlu a jasnú komplexnú kalkulačku.

Základné operácie s komplexnými číslami

Dúfame, že práca s komplexným číslom je celkom ľahká, pretože môžete pracovať s imaginárnou jednotkou i ako s premennou. A použite definíciu i²= -1na zjednodušenie zložitých výrazov. Mnoho operácií je rovnakých ako operácie s dvojrozmernými vektormi.

Sčítanie

Veľmi jednoduché, sčítajte reálne časti (bez i) a imaginárne časti (tie s i):
Toto sa rovná použitiu pravidla: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(1+i) + (6-5i) = 7-4i
12 + 6-5i = 18-5i
(10-5i) + (-5+5i) = 5

Odčítanie

Opäť veľmi jednoduché, odčítajte reálne časti a odčítajte imaginárne časti (tie s i):
Toto sa rovná použitiu pravidla: (a + bi) + (c + di) = (a-c) + (b-d)i

(1+i) - (3-5i) = -2+6i
-1/2 - (6-5i) = -6.5+5i
(10-5i) - (-5+5i) = 15-10i

Násobenie

Ak chcete vynásobiť dve komplexné čísla, použite distribučné pravidlo, zlúčte sa dvojčleny a použite i²= -1.
Toto sa rovná použitiu pravidla: (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

(1+i) (3+5i) = 1*3+1*5i+i*3+i*5i = 3+5i+3i-5 = -2+8i
-1/2 * (6-5i) = -3+2.5i
(10-5i) * (-5+5i) = -25+75i

Delenie

Delenie dvoch komplexných čísel sa dá dosiahnuť vynásobením čitateľa a menovateľa komplexne združeným menovateľom. Odstránime tak imaginárnu jednotku i v menovateľi. Ak je menovateľ c + di, urobte to bez i (alebo ho urobte reálnym), stačí vynásobiť komplexne združeným menovateľom tj. c-di:

(c + di) (c-di) = c²+ d²

\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{( a + b i ) ( c - d i )}{( c + d i ) ( c - d i )} = \frac{a c + b d + i ( b c - a d )}{c ^{2} + d ^{2}} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i

(10-5i) / (1+i) = 2.5-7.5i
-3 / (2-i) = -1.2-0.6i
6i / (4+3i) = 0.72+0.96i

Absolútna hodnota alebo modul

Absolútna hodnota alebo modul je vzdialenosť obrazu komplexného čísla od počiatku v rovine. Kalkulačka používa na zistenie tejto vzdialenosti Pytagorovu vetu. Veľmi jednoduché, pozri príklady: |3+4i| = 5
|1-i| = 1.4142136
|6i| = 6
abs(2+5i) = 5.3851648

Druhá odmocnina

Druhá odmocnina komplexného čísla (a + bi) je z, ak z²= (a + bi). Tu končí jednoduchosť. Kvôli základnej vete algebry budete mať pre dané číslo vždy dve rôzne druhé odmocniny. Ak chcete zistiť možné hodnoty, najjednoduchším spôsobom je pravdepodobne použiť De Moivrove pravidlo (vzorec). Druhá odmocnina nie je jednoznačne definovaná funkcia pre komplexné číslo. Vypočítame preto všetky komplexné druhé resp. vyššie odmocniny (korene) z ľubovoľného čísla - dokonca aj vo výrazoch:

sqrt(9i) = 2.1213203+2.1213203i
sqrt(10-6i) = 3.2910412-0.9115656i
pow(-32,1/5)/5 = -0.4
pow(1+2i,1/3)*sqrt(4) = 2.439233+0.9434225i
pow(-5i,1/8)*pow(8,1/3) = 2.3986959-0.4771303i

Druhá mocnina, štvorec, mocnina, komplexná umocňovanie

Naša kalkulačka dokáže umocňovať akékoľvek komplexné číslo na celé číslo (kladné, záporné), reálne alebo dokonca komplexné číslo. Inými slovami, vypočítame „komplexné číslo na komplexnú mocninu“
Pozrite príklad:

i^{i} = e^{- π / 2}

i^2 = -1
i^61 = i
(6-2i)^6 = -22528-59904i
(6-i)^4.5 = 2486.1377428-2284.5557378i
(6-5i)^(-3+32i) = 2929449.0399425-9022199.5826224i
i^i = 0.2078795764
pow(1+i,3) = -2+2i

Funkcie

sqrt: Druhá odmocnina hodnoty alebo výrazu.
sin: sínus hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiánov / stupňov.
cos: kosínus hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiánov / stupňov.
tan/tg: tangens hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiánov / stupňov.
exp: e (Eulerova konštanta) umocnená na výrazu, exponenciála
pow: Mocnina jedného komplexného čísla na iné celé číslo / reálne / komplexné číslo
ln: Prirodzený logaritmus hodnoty alebo výrazu
log: logaritmus hodnoty alebo výrazu základu-10
abs alebo | 1 + i |: Absolútna hodnota hodnoty alebo výrazu
fáza: Fáza (uhol) komplexného čísla
cis: je menej známa notácia:cis (x)= cos (x) + i sin (x); príklad: cis (pi/2) + 3 = 3+i
conj: konjugát, združené komplexné číslo - príklad: conj(4i+5) = 5-4i

Príklady použitia:

• tretia odmocnina: cuberoot(1 - 27i)
• odmocniny komplexných čísel: pow(1 + i,1/7)
• fáza, uhol komplexného čísla: phase(1 + i)
• cis tvar komplexné čísla: 5 * cis(45°)
• polárny tvar komplexné čísla: 10L60
• komplexne združené číslo: conj(4 + 5i)
• rovnica s komplexnými číslami: (z + i/2 )/(1 - i) = 4z + 5i
• sústava rovníc s imaginárnymi číslami: x - y = 4 + 6i; 3ix + 7y=x + iy
• Moivrová veta - rovnica: z ^ 4=1
• násobenie troch komplexných čísel: (1 + 3i)(3 + 4i)(−5 + 3i)
• nájdide súčin čísla 3-4i a jemu konjugovaného čísla: (3 - 4i) * conj(3 - 4i)
• operácie s komplexnými číslami: (3 - i) ^ 3

Komplexné čísla v slovných úlohách:

slovné úlohy - viacej »