Šiesta mocnina zet

Nech z = 2 - sqrt(3i). Nájdite z⁶ a vyjadrite svoju odpoveď v pravouhlom tvare komplexného čísla. Ak z = 2 - 2sqrt(3 i), potom r = |z| = sqrt(2 ^ 2 + (- 2sqrt(3)) ^ 2) = sqrt(16) = 4 a theta = tan -2√3/2=-π/3

Správna odpoveď:

x =  8,999
y =  2,2439

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} \sqrt{3i}=x_1+y_1\cdot i \\ {x}_1=\sqrt{3}/\sqrt{2}\doteq 1,2247 \\ {y}_1=x_1=1,2247\doteq 1,2247 \\ z=x_2+i\cdot y_2 \\ {x}_2=2-x_1=2-1,2247\doteq 0,7753 \\ {y}_2=0-y_1=0-1,2247\doteq -1,2247 \\ r=|z| \\ r=\sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{0,7753^2+(-1,2247{)}^2}\doteq 1,4495 \\ \theta =\mathrm{arctg}(y_2/x_2)=\mathrm{arctg}((-1,2247)/0,7753)\doteq -1,0065\text{rad} \\ {z}^6=r^6\cdot (\cos 6\theta +i\sin 6\theta ) \\ {r}_2=r^6=1,4495^6\doteq 9,2745 \\ {\theta }_2=6\cdot \theta =6\cdot (-1,0065)\doteq -6,0388\text{rad} \\ x=r_2\cdot \cos ({\theta }_2)=9,2745\cdot \cos (-6,0388)=8,999 \end{gathered}$$

$y=r_2\cdot \sin ({\theta }_2)=9,2745\cdot \sin (-6,0388)=2,2439$

Skúsiť iný príklad