Trojuholník 1 2 2
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 1
b = 2
c = 2
Obsah trojuholníka: S = 0,96882458366
Obvod trojuholníka: o = 5
Semiperimeter (poloobvod): s = 2,5
Uhol ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Uhol ∠ B = β = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 1,93664916731
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 0,96882458366
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 0,96882458366
Ťažnica: ta = 1,93664916731
Ťažnica: tb = 1,22547448714
Ťažnica: tc = 1,22547448714
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,38772983346
Polomer opísanej kružnice: R = 1,0332795559
Súradnice vrcholov: A[2; 0] B[0; 0] C[0,25; 0,96882458366]
Ťažisko: T[0,75; 0,32327486122]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1; 0,25881988897]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,5; 0,38772983346]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad
∠ C' = γ' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=1 b=2 c=2
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=1+2+2=5
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=25=2,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=2,5(2,5−1)(2,5−2)(2,5−2) S=0,94=0,97
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=12⋅ 0,97=1,94 vb=b2 S=22⋅ 0,97=0,97 vc=c2 S=22⋅ 0,97=0,97
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 2⋅ 222+22−12)=28°57′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1⋅ 212+22−22)=75°31′21" γ=180°−α−β=180°−28°57′18"−75°31′21"=75°31′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2,50,97=0,39
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,387⋅ 2,51⋅ 2⋅ 2=1,03
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 22+2⋅ 22−12=1,936 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 22+2⋅ 12−22=1,225 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 12+2⋅ 22−22=1,225
Vypočítať ďaľší trojuholník