Trojuholník 10 10 18
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 10
c = 18
Obsah trojuholníka: S = 39,23300904919
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Uhol ∠ A = α = 25,84219327632° = 25°50'31″ = 0,45110268118 rad
Uhol ∠ B = β = 25,84219327632° = 25°50'31″ = 0,45110268118 rad
Uhol ∠ C = γ = 128,31661344737° = 128°18'58″ = 2,243953903 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 7,84660180984
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,84660180984
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,35988989435
Ťažnica: ta = 13,67547943312
Ťažnica: tb = 13,67547943312
Ťažnica: tc = 4,35988989435
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,06547416048
Polomer opísanej kružnice: R = 11,47107866935
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[9; 4,35988989435]
Ťažisko: T[9; 1,45329663145]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -7,112188775]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 2,06547416048]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,15880672368° = 154°9'29″ = 0,45110268118 rad
∠ B' = β' = 154,15880672368° = 154°9'29″ = 0,45110268118 rad
∠ C' = γ' = 51,68438655263° = 51°41'2″ = 2,243953903 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=10 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+10+18=38
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−10)(19−10)(19−18) S=1539=39,23
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 39,23=7,85 vb=b2 S=102⋅ 39,23=7,85 vc=c2 S=182⋅ 39,23=4,36
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 18102+182−102)=25°50′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 18102+182−102)=25°50′31" γ=180°−α−β=180°−25°50′31"−25°50′31"=128°18′58"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1939,23=2,06
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,065⋅ 1910⋅ 10⋅ 18=11,47
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 182−102=13,675 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 102−102=13,675 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 102−182=4,359
Vypočítať ďaľší trojuholník