Trojuholník 10 10 19
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 10
c = 19
Obsah trojuholníka: S = 29,66437404924
Obvod trojuholníka: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5
Uhol ∠ A = α = 18,19548723388° = 18°11'42″ = 0,31875604293 rad
Uhol ∠ B = β = 18,19548723388° = 18°11'42″ = 0,31875604293 rad
Uhol ∠ C = γ = 143,61102553225° = 143°36'37″ = 2,5066471795 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 5,93327480985
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,93327480985
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,12224989992
Ťažnica: ta = 14,33552711868
Ťažnica: tb = 14,33552711868
Ťažnica: tc = 3,12224989992
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,52112174611
Polomer opísanej kružnice: R = 16,01328153805
Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[9,5; 3,12224989992]
Ťažisko: T[9,5; 1,04108329997]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; -12,89903163813]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 1,52112174611]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,80551276612° = 161°48'18″ = 0,31875604293 rad
∠ B' = β' = 161,80551276612° = 161°48'18″ = 0,31875604293 rad
∠ C' = γ' = 36,39897446775° = 36°23'23″ = 2,5066471795 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=10 c=19
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+10+19=39
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=239=19,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,5(19,5−10)(19,5−10)(19,5−19) S=879,94=29,66
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 29,66=5,93 vb=b2 S=102⋅ 29,66=5,93 vc=c2 S=192⋅ 29,66=3,12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 19102+192−102)=18°11′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 19102+192−102)=18°11′42" γ=180°−α−β=180°−18°11′42"−18°11′42"=143°36′37"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=19,529,66=1,52
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,521⋅ 19,510⋅ 10⋅ 19=16,01
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 192−102=14,335 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 102−102=14,335 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 102−192=3,122
Vypočítať ďaľší trojuholník