Trojuholník 10 12 20
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 12
c = 20
Obsah trojuholníka: S = 45,59660524607
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21
Uhol ∠ A = α = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Uhol ∠ B = β = 27,12767531173° = 27°7'36″ = 0,47334511573 rad
Uhol ∠ C = γ = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 2,27883807635 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,11992104921
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,59993420768
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,56596052461
Ťažnica: ta = 15,71662336455
Ťažnica: tb = 14,62987388383
Ťažnica: tc = 4,69904157598
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,17112405934
Polomer opísanej kružnice: R = 13,15990338992
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[8,9; 4,56596052461]
Ťažisko: T[9,63333333333; 1,52198684154]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -8,55333720345]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 2,17112405934]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ B' = β' = 152,87332468827° = 152°52'24″ = 0,47334511573 rad
∠ C' = γ' = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 2,27883807635 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=12 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+12+20=42
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=242=21
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21(21−10)(21−12)(21−20) S=2079=45,6
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 45,6=9,12 vb=b2 S=122⋅ 45,6=7,6 vc=c2 S=202⋅ 45,6=4,56
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 20122+202−102)=22°19′54" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 20102+202−122)=27°7′36" γ=180°−α−β=180°−22°19′54"−27°7′36"=130°32′30"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2145,6=2,17
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,171⋅ 2110⋅ 12⋅ 20=13,16
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 202−102=15,716 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 102−122=14,629 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 122−202=4,69
Vypočítať ďaľší trojuholník