Trojuholník 10 13 15
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 13
c = 15
Obsah trojuholníka: S = 64,06224695122
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Uhol ∠ A = α = 41,07553488744° = 41°4'31″ = 0,71769000793 rad
Uhol ∠ B = β = 58,66877485024° = 58°40'4″ = 1,02439453761 rad
Uhol ∠ C = γ = 80,25769026232° = 80°15'25″ = 1,40107471982 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,81224939024
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9,85657645403
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,54216626016
Ťažnica: ta = 13,11548770486
Ťažnica: tb = 10,96658560997
Ťažnica: tc = 8,84659030065
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,37217089217
Polomer opísanej kružnice: R = 7,61097597191
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[5,2; 8,54216626016]
Ťažisko: T[6,73333333333; 2,84772208672]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 1,28878054909]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,37217089217]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,92546511256° = 138°55'29″ = 0,71769000793 rad
∠ B' = β' = 121,33222514976° = 121°19'56″ = 1,02439453761 rad
∠ C' = γ' = 99,74330973768° = 99°44'35″ = 1,40107471982 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=13 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+13+15=38
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−10)(19−13)(19−15) S=4104=64,06
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 64,06=12,81 vb=b2 S=132⋅ 64,06=9,86 vc=c2 S=152⋅ 64,06=8,54
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−102)=41°4′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 15102+152−132)=58°40′4" γ=180°−α−β=180°−41°4′31"−58°40′4"=80°15′25"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1964,06=3,37
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,372⋅ 1910⋅ 13⋅ 15=7,61
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 152−102=13,115 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 102−132=10,966 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 132−152=8,846
Vypočítať ďaľší trojuholník