Trojuholník 10 13 17
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 13
c = 17
Obsah trojuholníka: S = 64,80774069841
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Uhol ∠ A = α = 35,90884892842° = 35°54'31″ = 0,62767213674 rad
Uhol ∠ B = β = 49,687978493° = 49°40'47″ = 0,86770758187 rad
Uhol ∠ C = γ = 94,41217257858° = 94°24'42″ = 1,64877954675 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,96114813968
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9,97703703052
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,62444008217
Ťažnica: ta = 14,28328568571
Ťažnica: tb = 12,33989626793
Ťažnica: tc = 7,8989866919
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,24403703492
Polomer opísanej kružnice: R = 8,52552600854
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[6,47105882353; 7,62444008217]
Ťažisko: T[7,82435294118; 2,54114669406]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -0,65657892373]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,24403703492]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,09215107158° = 144°5'29″ = 0,62767213674 rad
∠ B' = β' = 130,322021507° = 130°19'13″ = 0,86770758187 rad
∠ C' = γ' = 85,58882742142° = 85°35'18″ = 1,64877954675 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=13 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+13+17=40
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−10)(20−13)(20−17) S=4200=64,81
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 64,81=12,96 vb=b2 S=132⋅ 64,81=9,97 vc=c2 S=172⋅ 64,81=7,62
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 17132+172−102)=35°54′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 17102+172−132)=49°40′47" γ=180°−α−β=180°−35°54′31"−49°40′47"=94°24′42"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2064,81=3,24
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,24⋅ 2010⋅ 13⋅ 17=8,53
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 172−102=14,283 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 102−132=12,339 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 132−172=7,89
Vypočítať ďaľší trojuholník