Trojuholník 10 14 16
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 14
c = 16
Obsah trojuholníka: S = 69,28220323028
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Uhol ∠ A = α = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Uhol ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,78767892983° = 81°47'12″ = 1,42774487579 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,85664064606
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9,89774331861
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,66602540378
Ťažnica: ta = 14,17774468788
Ťažnica: tb = 11,35878166916
Ťažnica: tc = 9,16551513899
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,46441016151
Polomer opísanej kružnice: R = 8,08329037687
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[5; 8,66602540378]
Ťažisko: T[7; 2,88767513459]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; 1,15547005384]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,46441016151]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 98,21332107017° = 98°12'48″ = 1,42774487579 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=14 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+14+16=40
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−10)(20−14)(20−16) S=4800=69,28
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 69,28=13,86 vb=b2 S=142⋅ 69,28=9,9 vc=c2 S=162⋅ 69,28=8,66
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 16142+162−102)=38°12′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 16102+162−142)=60° γ=180°−α−β=180°−38°12′48"−60°=81°47′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2069,28=3,46
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,464⋅ 2010⋅ 14⋅ 16=8,08
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 162−102=14,177 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 102−142=11,358 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 142−162=9,165
Vypočítať ďaľší trojuholník