Trojuholník 10 14 17
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 14
c = 17
Obsah trojuholníka: S = 69,9788121581
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Uhol ∠ A = α = 36,01988541926° = 36°1'8″ = 0,62986475985 rad
Uhol ∠ B = β = 55,41436895449° = 55°24'49″ = 0,96771513332 rad
Uhol ∠ C = γ = 88,56774562624° = 88°34'3″ = 1,54657937219 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,99656243162
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9,99768745116
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,2332720186
Ťažnica: ta = 14,74878812038
Ťažnica: tb = 12,06223380818
Ťažnica: tc = 8,70334475928
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,41435669064
Polomer opísanej kružnice: R = 8,50326574958
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[5,67664705882; 8,2332720186]
Ťažisko: T[7,55988235294; 2,7444240062]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 0,21325664374]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,41435669064]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,98111458074° = 143°58'52″ = 0,62986475985 rad
∠ B' = β' = 124,58663104551° = 124°35'11″ = 0,96771513332 rad
∠ C' = γ' = 91,43325437376° = 91°25'57″ = 1,54657937219 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=14 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+14+17=41
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−10)(20,5−14)(20,5−17) S=4896,94=69,98
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 69,98=14 vb=b2 S=142⋅ 69,98=10 vc=c2 S=172⋅ 69,98=8,23
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 17142+172−102)=36°1′8" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 17102+172−142)=55°24′49" γ=180°−α−β=180°−36°1′8"−55°24′49"=88°34′3"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=20,569,98=3,41
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,414⋅ 20,510⋅ 14⋅ 17=8,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 172−102=14,748 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 102−142=12,062 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 142−172=8,703
Vypočítať ďaľší trojuholník