Trojuholník 10 17 18
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 17
c = 18
Obsah trojuholníka: S = 83,43222329798
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Uhol ∠ A = α = 33,04657624726° = 33°2'45″ = 0,5776757359 rad
Uhol ∠ B = β = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,18663995523 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,97985503645° = 78°58'43″ = 1,37884357423 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 16,6866446596
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9,81655568212
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 9,27702481089
Ťažnica: ta = 16,77879617356
Ťažnica: tb = 11,82215904175
Ťažnica: tc = 10,65436378763
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,70880992435
Polomer opísanej kružnice: R = 9,16991181295
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[3,75; 9,27702481089]
Ťažisko: T[7,25; 3,0990082703]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 1,75329196424]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,70880992435]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,95442375274° = 146°57'15″ = 0,5776757359 rad
∠ B' = β' = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,18663995523 rad
∠ C' = γ' = 101,02114496355° = 101°1'17″ = 1,37884357423 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=17 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+17+18=45
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−10)(22,5−17)(22,5−18) S=6960,94=83,43
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 83,43=16,69 vb=b2 S=172⋅ 83,43=9,82 vc=c2 S=182⋅ 83,43=9,27
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 18172+182−102)=33°2′45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 18102+182−172)=67°58′32" γ=180°−α−β=180°−33°2′45"−67°58′32"=78°58′43"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=22,583,43=3,71
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,708⋅ 22,510⋅ 17⋅ 18=9,17
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 182−102=16,778 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 102−172=11,822 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 172−182=10,654
Vypočítať ďaľší trojuholník