Trojuholník 10 17 19
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 17
c = 19
Obsah trojuholníka: S = 84,71112743382
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23
Uhol ∠ A = α = 31,63664748535° = 31°38'11″ = 0,55221606499 rad
Uhol ∠ B = β = 63,08773509057° = 63°5'14″ = 1,10110819897 rad
Uhol ∠ C = γ = 85,27661742408° = 85°16'34″ = 1,4888350014 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 16,94222548676
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9,96660322751
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,91769762461
Ťažnica: ta = 17,32105080757
Ťažnica: tb = 12,58797456254
Ťažnica: tc = 10,21102889283
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,68330988843
Polomer opísanej kružnice: R = 9,53223793239
Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[4,52663157895; 8,91769762461]
Ťažisko: T[7,84221052632; 2,97223254154]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; 0,78550194737]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,68330988843]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,36435251465° = 148°21'49″ = 0,55221606499 rad
∠ B' = β' = 116,91326490943° = 116°54'46″ = 1,10110819897 rad
∠ C' = γ' = 94,72438257592° = 94°43'26″ = 1,4888350014 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=17 c=19
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+17+19=46
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=246=23
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23(23−10)(23−17)(23−19) S=7176=84,71
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 84,71=16,94 vb=b2 S=172⋅ 84,71=9,97 vc=c2 S=192⋅ 84,71=8,92
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 19172+192−102)=31°38′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 19102+192−172)=63°5′14" γ=180°−α−β=180°−31°38′11"−63°5′14"=85°16′34"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2384,71=3,68
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,683⋅ 2310⋅ 17⋅ 19=9,53
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 192−102=17,321 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 102−172=12,58 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 172−192=10,21
Vypočítať ďaľší trojuholník