Trojuholník 10 24 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 10
b = 24
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 106,13219932914
Obvod trojuholníka: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32
Uhol ∠ A = α = 17,14662099989° = 17°8'46″ = 0,29992578187 rad
Uhol ∠ B = β = 45,03656507165° = 45°2'8″ = 0,78660203858 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,81881392847° = 117°49'5″ = 2,05663144491 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 21,22663986583
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 8,84443327743
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,07554662194
Ťažnica: ta = 26,70220598456
Ťažnica: tb = 18,86879622641
Ťažnica: tc = 10,63301458127
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,31766247904
Polomer opísanej kružnice: R = 16,96600131325
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[7,06766666667; 7,07554662194]
Ťažisko: T[12,35655555556; 2,35884887398]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -7,91546727952]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 3,31766247904]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,85437900011° = 162°51'14″ = 0,29992578187 rad
∠ B' = β' = 134,96443492836° = 134°57'52″ = 0,78660203858 rad
∠ C' = γ' = 62,18218607153° = 62°10'55″ = 2,05663144491 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=24 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+24+30=64
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=264=32
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32(32−10)(32−24)(32−30) S=11264=106,13
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 106,13=21,23 vb=b2 S=242⋅ 106,13=8,84 vc=c2 S=302⋅ 106,13=7,08
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 30242+302−102)=17°8′46" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 30102+302−242)=45°2′8" γ=180°−α−β=180°−17°8′46"−45°2′8"=117°49′5"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=32106,13=3,32
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,317⋅ 3210⋅ 24⋅ 30=16,96
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 302−102=26,702 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 102−242=18,868 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 242−302=10,63
Vypočítať ďaľší trojuholník