Trojuholník 10.29 27.86 30.86

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10,29
b = 27,86
c = 30,86

Obsah trojuholníka: S = 142,25989213847
Obvod trojuholníka: o = 69,01
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,505

Uhol ∠ A = α = 19,32550628117° = 19°19'30″ = 0,33772859742 rad
Uhol ∠ B = β = 63,63545585726° = 63°38'4″ = 1,11106325651 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,04403786157° = 97°2'25″ = 1,69436741142 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 27,65499361292
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 10,21224135955
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 9,22196319757

Ťažnica: t_a = 28,94545776442
Ťažnica: t_b = 18,3054834061
Ťažnica: t_c = 14,24659450371

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,12328494822
Polomer opísanej kružnice: R = 15,54772257871

Súradnice vrcholov: A[30,86; 0] B[0; 0] C[4,57697359041; 9,22196319757]
Ťažisko: T[11,8109911968; 3,07332106586]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15,43; -1,90656048057]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,645; 4,12328494822]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,67549371883° = 160°40'30″ = 0,33772859742 rad
∠ B' = β' = 116,36554414274° = 116°21'56″ = 1,11106325651 rad
∠ C' = γ' = 82,96596213843° = 82°57'35″ = 1,69436741142 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10, 29 b = 27, 86 c = 30, 86

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10, 29 + 27, 86 + 30, 86 = 69, 01

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 9 , 0 1}{2} = 34, 51

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34, 51 (34, 51 - 10, 29) (34, 51 - 27, 86) (34, 51 - 30, 86) S = 20237, 6 = 142, 26

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 2 , 2 6}{1 0 , 2 9} = 27, 65 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 2 , 2 6}{2 7 , 8 6} = 10, 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 2 , 2 6}{3 0 , 8 6} = 9, 22

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 7 , 8 6 ^{2} + 3 0 , 8 6 ^{2} - 1 0 , 2 9 ^{2}}{2 \cdot 2 7 , 8 6 \cdot 3 0 , 8 6}) = 19 ° 1 9^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 , 2 9 ^{2} + 3 0 , 8 6 ^{2} - 2 7 , 8 6 ^{2}}{2 \cdot 1 0 , 2 9 \cdot 3 0 , 8 6}) = 63 ° 3 8^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 1 9^{'} 30 " - 63 ° 3 8^{'} 4 " = 97 ° 2^{'} 25 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 2 , 2 6}{3 4 , 5 1} = 4, 12

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 , 2 9 \cdot 2 7 , 8 6 \cdot 3 0 , 8 6}{4 \cdot 4 , 1 2 3 \cdot 3 4 , 5 0 5} = 15, 55

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 , 8 6 ^{2} + 2 \cdot 3 0 , 8 6 ^{2} - 1 0 , 2 9 ^{2}}{2} = 28, 945 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 , 8 6 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 2 9 ^{2} - 2 7 , 8 6 ^{2}}{2} = 18, 305 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 7 , 8 6 ^{2} - 3 0 , 8 6 ^{2}}{2} = 14, 246

Vypočítať ďaľší trojuholník