Trojuholník 11 11 16
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 11
b = 11
c = 16
Obsah trojuholníka: S = 60,39986754822
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Uhol ∠ A = α = 43,34217582272° = 43°20'30″ = 0,75664563847 rad
Uhol ∠ B = β = 43,34217582272° = 43°20'30″ = 0,75664563847 rad
Uhol ∠ C = γ = 93,31664835456° = 93°18'59″ = 1,62986798843 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 10,98215773604
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 10,98215773604
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,55498344353
Ťažnica: ta = 12,58797456254
Ťažnica: tb = 12,58797456254
Ťažnica: tc = 7,55498344353
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,1798877657
Polomer opísanej kružnice: R = 8,01334207602
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[8; 7,55498344353]
Ťažisko: T[8; 2,51766114784]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -0,4643586325]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 3,1798877657]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 136,65882417728° = 136°39'30″ = 0,75664563847 rad
∠ B' = β' = 136,65882417728° = 136°39'30″ = 0,75664563847 rad
∠ C' = γ' = 86,68435164544° = 86°41'1″ = 1,62986798843 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=11 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+11+16=38
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−11)(19−11)(19−16) S=3648=60,4
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 60,4=10,98 vb=b2 S=112⋅ 60,4=10,98 vc=c2 S=162⋅ 60,4=7,55
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 16112+162−112)=43°20′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 16112+162−112)=43°20′30" γ=180°−α−β=180°−43°20′30"−43°20′30"=93°18′59"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1960,4=3,18
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,179⋅ 1911⋅ 11⋅ 16=8,01
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 162−112=12,58 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 112−112=12,58 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 112−162=7,55
Vypočítať ďaľší trojuholník