Trojuholník 11 16 17
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 11
b = 16
c = 17
Obsah trojuholníka: S = 85,20656336166
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Uhol ∠ A = α = 38,79332513571° = 38°47'36″ = 0,67770699637 rad
Uhol ∠ B = β = 65,68442608288° = 65°41'3″ = 1,14664066182 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 15,49219333848
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 10,65107042021
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 10,02441921902
Ťažnica: ta = 15,56443824163
Ťažnica: tb = 11,8744342087
Ťažnica: tc = 10,78219293264
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,87329833462
Polomer opísanej kružnice: R = 8,77987622514
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[4,52994117647; 10,02441921902]
Ťažisko: T[7,17664705882; 3,34113973967]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 2,19546905629]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,87329833462]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,20767486429° = 141°12'24″ = 0,67770699637 rad
∠ B' = β' = 114,31657391712° = 114°18'57″ = 1,14664066182 rad
∠ C' = γ' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=16 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+16+17=44
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−11)(22−16)(22−17) S=7260=85,21
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 85,21=15,49 vb=b2 S=162⋅ 85,21=10,65 vc=c2 S=172⋅ 85,21=10,02
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 17162+172−112)=38°47′36" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 17112+172−162)=65°41′3" γ=180°−α−β=180°−38°47′36"−65°41′3"=75°31′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2285,21=3,87
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,873⋅ 2211⋅ 16⋅ 17=8,78
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 172−112=15,564 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 112−162=11,874 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 162−172=10,782
Vypočítať ďaľší trojuholník