Trojuholník 11 16 23
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 11
b = 16
c = 23
Obsah trojuholníka: S = 79,37325393319
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Uhol ∠ A = α = 25,55546937848° = 25°33'17″ = 0,44660135459 rad
Uhol ∠ B = β = 38,86223042378° = 38°51'44″ = 0,67882751639 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,58330019774° = 115°34'59″ = 2,01773039438 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 14,43113707876
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9,92215674165
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,90219599419
Ťažnica: ta = 19,03328663107
Ťažnica: tb = 16,15554944214
Ťažnica: tc = 7,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,17549015733
Polomer opísanej kružnice: R = 12,75500015562
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[8,56552173913; 6,90219599419]
Ťažisko: T[10,52217391304; 2,3010653314]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -5,50656824902]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 3,17549015733]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,44553062152° = 154°26'43″ = 0,44660135459 rad
∠ B' = β' = 141,13876957622° = 141°8'16″ = 0,67882751639 rad
∠ C' = γ' = 64,41769980226° = 64°25'1″ = 2,01773039438 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=16 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+16+23=50
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−11)(25−16)(25−23) S=6300=79,37
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 79,37=14,43 vb=b2 S=162⋅ 79,37=9,92 vc=c2 S=232⋅ 79,37=6,9
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 23162+232−112)=25°33′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 23112+232−162)=38°51′44" γ=180°−α−β=180°−25°33′17"−38°51′44"=115°34′59"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2579,37=3,17
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,175⋅ 2511⋅ 16⋅ 23=12,75
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 232−112=19,033 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 112−162=16,155 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 162−232=7,5
Vypočítať ďaľší trojuholník