Trojuholník 11 60 61
Pravouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 11
b = 60
c = 61
Obsah trojuholníka: S = 330
Obvod trojuholníka: o = 132
Semiperimeter (poloobvod): s = 66
Uhol ∠ A = α = 10,38988578155° = 10°23'20″ = 0,18113197744 rad
Uhol ∠ B = β = 79,61111421845° = 79°36'40″ = 1,38994765524 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 60
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 11
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 10,82196721311
Ťažnica: ta = 60,25215559965
Ťažnica: tb = 31,95330906173
Ťažnica: tc = 30,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 5
Polomer opísanej kružnice: R = 30,5
Súradnice vrcholov: A[61; 0] B[0; 0] C[1,98436065574; 10,82196721311]
Ťažisko: T[20,99545355191; 3,6076557377]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[30,5; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 5]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,61111421845° = 169°36'40″ = 0,18113197744 rad
∠ B' = β' = 100,38988578155° = 100°23'20″ = 1,38994765524 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=60 c=61
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+60+61=132
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2132=66
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=66(66−11)(66−60)(66−61) S=108900=330
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 330=60 vb=b2 S=602⋅ 330=11 vc=c2 S=612⋅ 330=10,82
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 60⋅ 61602+612−112)=10°23′20" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 61112+612−602)=79°36′40" γ=180°−α−β=180°−10°23′20"−79°36′40"=90°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=66330=5
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5⋅ 6611⋅ 60⋅ 61=30,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 602+2⋅ 612−112=60,252 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 612+2⋅ 112−602=31,953 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 602−612=30,5
Vypočítať ďaľší trojuholník