Trojuholník 12 13 24

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 13
c = 24

Obsah trojuholníka: S = 41,9643525829
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Uhol ∠ A = α = 15,60545888784° = 15°36'17″ = 0,27223514543 rad
Uhol ∠ B = β = 16,94325916094° = 16°56'33″ = 0,29657040074 rad
Uhol ∠ C = γ = 147,45328195121° = 147°27'10″ = 2,57435371918 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,99439209715
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,45659270506
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,49769604857

Ťažnica: t_a = 18,34439363278
Ťažnica: t_b = 17,826554347
Ťažnica: t_c = 3,53655339059

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,71327969726
Polomer opísanej kružnice: R = 22,30550847494

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[11,47991666667; 3,49769604857]
Ťažisko: T[11,82663888889; 1,16656534952]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -18,80220425933]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 1,71327969726]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,39554111216° = 164°23'43″ = 0,27223514543 rad
∠ B' = β' = 163,05774083906° = 163°3'27″ = 0,29657040074 rad
∠ C' = γ' = 32,54771804879° = 32°32'50″ = 2,57435371918 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 13 c = 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 13 + 24 = 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 12) (24, 5 - 13) (24, 5 - 24) S = 1760, 94 = 41, 96

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{1 2} = 6, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{1 3} = 6, 46 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{2 4} = 3, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 4}) = 15 ° 3 6^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 4}) = 16 ° 5 6^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 3 6^{'} 17 " - 16 ° 5 6^{'} 33 " = 147 ° 2 7^{'} 10 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 1 , 9 6}{2 4 , 5} = 1, 71

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 3 \cdot 2 4}{4 \cdot 1 , 7 1 3 \cdot 2 4 , 5} = 22, 31

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 18, 344 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 17, 826 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 3, 536

Vypočítať ďaľší trojuholník