Trojuholník 12 14 19
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 12
b = 14
c = 19
Obsah trojuholníka: S = 83,8365776969
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Uhol ∠ A = α = 39,07655206502° = 39°4'32″ = 0,68219964923 rad
Uhol ∠ B = β = 47,34111576513° = 47°20'28″ = 0,82662590727 rad
Uhol ∠ C = γ = 93,58333216985° = 93°35' = 1,63333370886 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,97326294948
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 11,9776539567
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,82548186283
Ťažnica: ta = 15,57224115024
Ťažnica: tb = 14,26553426177
Ťažnica: tc = 8,93302855497
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,7266034532
Polomer opísanej kružnice: R = 9,51986092245
Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[8,13215789474; 8,82548186283]
Ťažisko: T[9,04438596491; 2,94216062094]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; -0,59549130765]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 3,7266034532]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,92444793498° = 140°55'28″ = 0,68219964923 rad
∠ B' = β' = 132,65988423487° = 132°39'32″ = 0,82662590727 rad
∠ C' = γ' = 86,41766783015° = 86°25' = 1,63333370886 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=14 c=19
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+14+19=45
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−12)(22,5−14)(22,5−19) S=7028,44=83,84
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 83,84=13,97 vb=b2 S=142⋅ 83,84=11,98 vc=c2 S=192⋅ 83,84=8,82
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 19142+192−122)=39°4′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 19122+192−142)=47°20′28" γ=180°−α−β=180°−39°4′32"−47°20′28"=93°35′
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=22,583,84=3,73
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,726⋅ 22,512⋅ 14⋅ 19=9,52
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 192−122=15,572 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 122−142=14,265 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 142−192=8,93
Vypočítať ďaľší trojuholník