Trojuholník 12 14 20
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 12
b = 14
c = 20
Obsah trojuholníka: S = 82,65498638837
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23
Uhol ∠ A = α = 36,18222872212° = 36°10'56″ = 0,63215000429 rad
Uhol ∠ B = β = 43,53111521674° = 43°31'52″ = 0,76597619325 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,28765606115° = 100°17'12″ = 1,75503306782 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,7754977314
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 11,8077123412
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,26549863884
Ťažnica: ta = 16,18664140562
Ťažnica: tb = 14,93331845231
Ťažnica: tc = 8,36766002653
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,59334723428
Polomer opísanej kružnice: R = 10,1633356121
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[8,7; 8,26549863884]
Ťažisko: T[9,56766666667; 2,75549954628]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -1,81548850216]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 3,59334723428]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,81877127789° = 143°49'4″ = 0,63215000429 rad
∠ B' = β' = 136,46988478326° = 136°28'8″ = 0,76597619325 rad
∠ C' = γ' = 79,71334393885° = 79°42'48″ = 1,75503306782 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=14 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+14+20=46
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=246=23
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23(23−12)(23−14)(23−20) S=6831=82,65
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 82,65=13,77 vb=b2 S=142⋅ 82,65=11,81 vc=c2 S=202⋅ 82,65=8,26
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 20142+202−122)=36°10′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 20122+202−142)=43°31′52" γ=180°−α−β=180°−36°10′56"−43°31′52"=100°17′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2382,65=3,59
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,593⋅ 2312⋅ 14⋅ 20=10,16
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 202−122=16,186 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 122−142=14,933 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 142−202=8,367
Vypočítať ďaľší trojuholník