Trojuholník 12 16 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 16
c = 25

Obsah trojuholníka: S = 77,79441996552
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 22,89904870518° = 22°53'26″ = 0.43995143664 rad
Uhol ∠ B = β = 31,24402652162° = 31°14'25″ = 0,54552454872 rad
Uhol ∠ C = γ = 125,8699247732° = 125°52'9″ = 2,19768327999 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 12,96656999425
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 9,72442749569
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,22435359724

Ťažnica: t_a = 20,11221853611
Ťažnica: t_b = 17,903251379
Ťažnica: t_c = 6,61443782777

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,93656301757
Polomer opísanej kružnice: R = 15,4255314552

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[10,26; 6,22435359724]
Ťažisko: T[11,75333333333; 2,07545119908]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -9,03882702453]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 2,93656301757]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,11095129482° = 157°6'34″ = 0.43995143664 rad
∠ B' = β' = 148,76597347838° = 148°45'35″ = 0,54552454872 rad
∠ C' = γ' = 54,1310752268° = 54°7'51″ = 2,19768327999 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 16 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 16 + 25 = 53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 12) (26, 5 - 16) (26, 5 - 25) S = 6051, 94 = 77, 79

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 7 , 7 9}{1 2} = 12, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 7 , 7 9}{1 6} = 9, 72 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 7 , 7 9}{2 5} = 6, 22

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 5}) = 22 ° 5 3^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 5}) = 31 ° 1 4^{'} 25 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 5 3^{'} 26 " - 31 ° 1 4^{'} 25 " = 125 ° 5 2^{'} 9 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 7 , 7 9}{2 6 , 5} = 2, 94

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 6 \cdot 2 5}{4 \cdot 2 , 9 3 6 \cdot 2 6 , 5} = 15, 43

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 20, 112 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 17, 903 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 6, 614

Vypočítať ďaľší trojuholník