Trojuholník 12 19 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 12
b = 19
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 56,96599640098
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5
Uhol ∠ A = α = 11,52987444337° = 11°31'43″ = 0,2011214549 rad
Uhol ∠ B = β = 18,448802355° = 18°26'53″ = 0,32219787514 rad
Uhol ∠ C = γ = 150,02332320163° = 150°1'24″ = 2,61883993532 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,4933327335
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,99657856852
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,7977330934
Ťažnica: ta = 24,38223706805
Ťažnica: tb = 20,77985947552
Ťažnica: tc = 5,24440442409
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,86875398036
Polomer opísanej kružnice: R = 30,02110863846
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[11,38333333333; 3,7977330934]
Ťažisko: T[13,79444444444; 1,2665776978]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -26,00551077235]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 1,86875398036]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 168,47112555664° = 168°28'17″ = 0,2011214549 rad
∠ B' = β' = 161,552197645° = 161°33'7″ = 0,32219787514 rad
∠ C' = γ' = 29,97767679837° = 29°58'36″ = 2,61883993532 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=19 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+19+30=61
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=261=30,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30,5(30,5−12)(30,5−19)(30,5−30) S=3244,44=56,96
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 56,96=9,49 vb=b2 S=192⋅ 56,96=6 vc=c2 S=302⋅ 56,96=3,8
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 30192+302−122)=11°31′43" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 30122+302−192)=18°26′53" γ=180°−α−β=180°−11°31′43"−18°26′53"=150°1′24"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=30,556,96=1,87
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,868⋅ 30,512⋅ 19⋅ 30=30,02
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 302−122=24,382 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 122−192=20,779 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 192−302=5,244
Vypočítať ďaľší trojuholník