Trojuholník 12 20 26

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 20
c = 26

Obsah trojuholníka: S = 115,37333071382
Obvod trojuholníka: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29

Uhol ∠ A = α = 26,34329755443° = 26°20'35″ = 0,4659771658 rad
Uhol ∠ B = β = 47,69550102928° = 47°41'42″ = 0,83224349664 rad
Uhol ∠ C = γ = 105,96220141629° = 105°57'43″ = 1,84993860292 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 19,2298884523
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11,53773307138
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 8,87548697799

Ťažnica: t_a = 22,40553565024
Ťažnica: t_b = 17,60768168617
Ťažnica: t_c = 10,14988915651

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,97883899013
Polomer opísanej kružnice: R = 13,52113251548

Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[8,07769230769; 8,87548697799]
Ťažisko: T[11,3598974359; 2,95882899266]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; -3,71883644176]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 3,97883899013]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,65770244557° = 153°39'25″ = 0,4659771658 rad
∠ B' = β' = 132,30549897072° = 132°18'18″ = 0,83224349664 rad
∠ C' = γ' = 74,03879858372° = 74°2'17″ = 1,84993860292 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 20 c = 26

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 20 + 26 = 58

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8}{2} = 29

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29 (29 - 12) (29 - 20) (29 - 26) S = 13311 = 115, 37

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 5 , 3 7}{1 2} = 19, 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 5 , 3 7}{2 0} = 11, 54 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 5 , 3 7}{2 6} = 8, 87

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 6}) = 26 ° 2 0^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 6}) = 47 ° 4 1^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 2 0^{'} 35 " - 47 ° 4 1^{'} 42 " = 105 ° 5 7^{'} 43 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 5 , 3 7}{2 9} = 3, 98

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 2 0 \cdot 2 6}{4 \cdot 3 , 9 7 8 \cdot 2 9} = 13, 52

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 22, 405 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 17, 607 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 10, 149

Vypočítať ďaľší trojuholník