Trojuholník 12 5 13

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 12
b = 5
c = 13

Obsah trojuholníka: S = 30
Obvod trojuholníka: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Uhol ∠ A = α = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Uhol ∠ B = β = 22,6219864948° = 22°37'11″ = 0,39547911197 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 12
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4,61553846154

Ťažnica: t_a = 7,81102496759
Ťažnica: t_b = 12,25876506721
Ťažnica: t_c = 6,5

Polomer vpísanej kružnice: r = 2
Polomer opísanej kružnice: R = 6,5

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[11,07769230769; 4,61553846154]
Ťažisko: T[8,02656410256; 1,53884615385]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 2]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ B' = β' = 157,3880135052° = 157°22'49″ = 0,39547911197 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 5 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 5 + 13 = 30

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0}{2} = 15

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15 (15 - 12) (15 - 5) (15 - 13) S = 900 = 30

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 0}{1 2} = 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 0}{5} = 12 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 0}{1 3} = 4, 62

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 3}) = 67 ° 2 2^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 3}) = 22 ° 3 7^{'} 11 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 67 ° 2 2^{'} 49 " - 22 ° 3 7^{'} 11 " = 90 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 0}{1 5} = 2

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 5 \cdot 1 3}{4 \cdot 2 \cdot 1 5} = 6, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 7, 81 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 12, 258 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 6, 5

Vypočítať ďaľší trojuholník