Trojuholník 13 14 19
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 13
b = 14
c = 19
Obsah trojuholníka: S = 90,99545053286
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23
Uhol ∠ A = α = 43,17703054388° = 43°10'13″ = 0,7533463969 rad
Uhol ∠ B = β = 47,45993311847° = 47°27'34″ = 0,828832159 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,37703633766° = 89°22'13″ = 1,56598070946 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,99991546659
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 12,99992150469
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 9,5788368982
Ťažnica: ta = 15,37704261489
Ťažnica: tb = 14,69769384567
Ťažnica: tc = 9,60546863561
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,95662828404
Polomer opísanej kružnice: R = 9,50105736542
Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[8,78994736842; 9,5788368982]
Ťažisko: T[9,26331578947; 3,19327896607]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; 0,10444019083]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 3,95662828404]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 136,83296945613° = 136°49'47″ = 0,7533463969 rad
∠ B' = β' = 132,54106688153° = 132°32'26″ = 0,828832159 rad
∠ C' = γ' = 90,63296366234° = 90°37'47″ = 1,56598070946 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=19
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+14+19=46
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=246=23
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23(23−13)(23−14)(23−19) S=8280=90,99
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 90,99=14 vb=b2 S=142⋅ 90,99=13 vc=c2 S=192⋅ 90,99=9,58
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 19142+192−132)=43°10′13" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 19132+192−142)=47°27′34" γ=180°−α−β=180°−43°10′13"−47°27′34"=89°22′13"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2390,99=3,96
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,956⋅ 2313⋅ 14⋅ 19=9,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 192−132=15,37 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 132−142=14,697 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−192=9,605
Vypočítať ďaľší trojuholník